[論文レビュー] Localization of 4d $\mathcal{N} = 1$ theories on $\mathbb{D}^2 imes \mathbb{T}^2$

Pietro Longhi, Fabrizio Nieri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 146被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、超対称局在化を用いて、4次元 $\chi = 1$ 超対称ゲージ理論の正確な分配関数を $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ 上で計算し、先行研究で予想されていた4次元正則ブロックを導出する。ホモロジー的再定式化された超対称性代数と境界条件の解析を通じて、キラル multiplet におけるディリクレ型およびルビン型境界条件を同定し、それらが境界 $\mathbb{T}^3$ 上の3次元 $\mathcal{N} = 1$ 自由度を介して関連していることを示し、両ケースの明示的1ループ確定を計算することで、2次元-3次元-4次元双対性階層の楕円的拡張を完成させる。

ABSTRACT

We consider 4d $\mathcal{N}=1$ gauge theories with R-symmetry on a hemisphere times a torus. We apply localization techniques to evaluate the exact partition function through a cohomological reformulation of the supersymmetry transformations. Our results represent the natural elliptic lifts of the lower dimensional analogs as well as a field theoretic derivation of the conjectured 4d holomorphic blocks, from which partition functions of compact spaces with diverse topology can be recovered through gluing. We also analyze the different boundary conditions which can naturally be imposed on the chiral multiplets, which turn out to be either Dirichlet or Robin-like. We show that different boundary conditions are related to each other by coupling the bulk to 3d $\mathcal{N}=1$ degrees of freedom on the boundary three-torus, for which we derive explicit 1-loop determinants.

研究の動機と目的

• 4次元正則ブロックを [27] で予想されたものから、$\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ 上での超対称局在化を用いた第一原理的計算により導出すること。
• 境界 $\partial(\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2) \simeq \mathbb{T}^3$ 上におけるキラル multiplet の超対称性を保存する境界条件を分類・解析し、ディリクレ型およびルビン型を同定すること。
• 2次元-3次元-4次元双対性階層の楕円的拡張を、場の理論的導出により確立し、有理関数-三角関数-楕円関数の順序に従う歪み超ポテンシャルの完全な系列を完成させること。
• コホロロジー的局在化と歪み場の形式を用いて、これらの境界条件の下でベクトル multiplet およびキラル multiplet の明示的1ループ確定を計算すること。

提案手法

• 超対称性代数のコホロロジー的再定式化を適用し、経路積分を平坦接続およびゼロモードの有限次元的輪環積分に還元すること。
• 4次元 $\mathcal{N}=1$ multiplet（ベクトル、キラル）を境界 $\mathbb{T}^3$ 上の3次元 $\mathcal{N}=1$ multipletに写像し、誘導される超対称性および境界のダイナミクスを解析すること。
• 歪んだフェルミオン的ラグランジアンとその境界項を解析することで、バルク multiplet の1ループ確定を導出する。R荷重付き空間上のモード展開と運動項を用いる。
• 局在化ラグランジアンの正定性を保証するため、歪んだ場に新たな対合（involution）を導入し、演算子の因数分解を用いて確定を計算可能にする。
• 境界 $\mathbb{T}^3$ 上の3次元 $\mathcal{N}=1$ 自由度を介したディリクレ型とルビン型境界条件の関係を用い、分配関数の比を計算することで、非自明なチェックを実施すること。
• 次元削減を実行し、既知の2次元および3次元の結果を再現することで、低次元の因子分解およびモジュラー性と整合していることを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元正則ブロックを [27] で予想されたものから、$\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ 上での局在化を用いた正確な場の理論的計算によりどのように導出できるか？
• RQ2 キラル multiplet が $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ 上に存在する場合、超対称性を保存する境界条件の完全な集合は何か？それらはどのように関連しているか？
• RQ3 境界 $\mathbb{T}^3$ 上の3次元 $\mathcal{N}=1$ 自由度は、ディリクレ型とルビン型境界条件の間の双対性をどのように媒介するか？
• RQ4 ルビン型境界条件の下でキラル multiplet の明示的1ループ確定はどのような形をとり、ディリクレ型の場合とどのように比較できるか？
• RQ5 $\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ 上の分配関数は次元削減によってどのように既知の2次元および3次元の結果に還元されるか？これは楕円的双対性階層にどのような意味を持つのか？

主な発見

• コホロロジー的局在化を用いた正確な分配関数の計算により、$\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ 上で4次元正則ブロックが得られ、[27] で予想された通りの結果が得られ、2次元-3次元-4次元双対性の楕円的拡張の場の理論的導出が達成された。
• キラル multiplet に対して、超対称性を保存する2種類の異なる境界条件を同定した：ディリクレ型（スカラーおよびフェルミオンが境界で消える）とルビン型（ディリクレでもノイマンでもなく、場とその微分の線形結合を含む）。
• ディリクレ型とルビン型境界条件の分配関数比が、$\mathbb{T}^3$ 上の3次元 $\mathcal{N}=1$ ベクトル multiplet の1ループ確定に等しいことが示され、境界結合を通じた双対性の確認が得られた。
• コホロロジー的枠組みにおいて、ベクトルおよびキラル multiplet の両方の1ループ確定が明示的に導出された。キラル multiplet の確定は、歪んだ運動項 $K_B$、$K_F$ および $L_K$、$L_Y$、$L_{\bar{Y}}$ を含む境界項によって記述された。
• キラル multiplet の1ループ確定は、運動項 $K_F / K_B$ の因数分解により計算され、$\det K_F / \det K_B = \det(iL_K^{(r-2)}) / \det(iL_K^{(r)})$ が成り立つことが示された。これは境界条件 $L_{\bar{Y}} \phi|_\partial = 0$ および $B|_\partial = 0$ の下で有効である。
• 次元削減により、既知の2次元および3次元の因子分解構造が再現され、有理関数-三角関数-楕円関数の順序に従う歪み超ポテンシャルの階層と整合していることが確認された。また、$\mathbb{D}^2 \times \mathbb{T}^2$ パッチから構成されるコンact分配関数の予想された接続構造を支持する結果が得られた。