[論文レビュー] Lorentzian quantum cosmology in novel Gauss-Bonnet gravity from Picard-Lefschetz methods

Gaurav Narain, Hai-Qing Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Wick回転を用いず、Lorentz signatureで直接遷移振幅を計算するためにPicard-Lefschetz理論を用いて、新規のGauss-Bonnet重力におけるLorentzian量子宇宙論を調査する。D次元でのミニスーパースペース作用を定式化し、部分積分を用いてD→4の滑らかな極限をとることで、有限なGauss-Bonnet結合定数を伴う非自明な4次元作用が得られる。主な結果は、複素的安定点と経路積分における位相的寄与から生じる、Gauss-Bonnet結合定数の1次に比例する非摂動的風味のする遷移振幅の補正項である。

ABSTRACT

In this paper we study some aspects of classical and quantum cosmology in the novel-Gauss-Bonnet (nGB) gravity in four space-time dimensions. Starting with a generalised Friedmann-Lemaître-Robertson Walker (FLRW) metric respecting homogeneity and isotropicity in arbitrary space-time dimension $D$, we find the action of theory in four spacetime dimension where the limit $D o4$ is smoothly obtained after an integration by parts. The peculiar rescaling of Gauss-Bonnet coupling by factor of $D-4$ results in a non-trivial contribution to the action. We study the system of equation of motion to first order nGB coupling. We then go on to compute the transition probability from one $3$-geometry to another directly in Lorentzian signature. We make use of combination of WKB approximation and Picard-Lefschetz (PL) theory to achieve our aim. PL theory allows to analyse the path-integral directly in Lorentzian signature without doing Wick rotation. Due to complication caused by non-linear nature of action, we compute the transition amplitude to first order in nGB coupling. We find non-trivial correction coming from the nGB coupling to the transition amplitude, even if the analysis was done perturbatively. We use this result to investigate the case of classical boundary conditions.

研究の動機と目的

• 有限なD→4極限を許容する、Gauss-Bonnet重力の新規形式における量子宇宙論を探索すること。
• Wick回転の曖昧さを回避して、Lorentz signatureで直接3幾何の間の遷移振幅を計算すること。
• ミニスーパースペース近似とPicard-Lefschetz理論を用いて、Gauss-Bonnet項が量子重力に与える役割を調査すること。
• 摂動的取り扱いのもとで4次元においても、Gauss-Bonnet結合定数から非自明な量子補正が生じるかどうかを特定すること。

提案手法

• 時間に依存する lapse 関数とスケール因子を伴うD次元時空における一般化されたFriedmann-Lemaître-Robertson-Walker計量を定式化する。
• 部分積分を用いて、新規Gauss-Bonnet重力のミニスーパースペース作用を導出し、Kaluza-Klein還元を用いず、D→4極限が明確に定義されることを保証する。
• Picard-Lefschetz法を用いて、Lorentz経路積分を直接解析し、関連する複素的安定点を同定する。
• WKB近似を用いて、Gauss-Bonnet結合定数αの1次までで経路積分を評価する。
• 異なる古典的解に対応する安定点における作用とヘッセ行列を評価することで、遷移振幅を計算する。
• 複素的安定点における作用の虚部と実部から、量子補正を抽出する。これには対数関数および逆正 tangent 関数の項が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kaluza-Klein次元還元を用いず、新規Gauss-Bonnet重力から有限かつ非自明な4次元作用を導出できるか？
• RQ2 Picard-Lefschetz法により、Wick回転を回避して一貫性のあるLorentzian遷移振幅の計算が可能か？
• RQ3 Gauss-Bonnet重力の新規形式において、αの1次に比例する遷移振幅の量子補正の構造は何か？
• RQ4 古典的境界条件は、この枠組みにおける量子遷移振幅にどのように影響を与えるか？
• RQ5 複素的安定点および位相的項（例：逆正 tangent 項）は、最終的な振幅においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 部分積分を経て、新規Gauss-Bonnet作用のD→4極限が明確に定義され、余分なスカラー自由度を伴わず、有限な4次元理論が得られる。
• Gauss-Bonnet結合定数αの1次でも、非自明な量子補正が遷移振幅に生じ、経路積分における非摂動的効果を示唆する。
• 遷移振幅には、π²/4ℏΛとスケール因子パラメータuとvの逆正 tangent 関数を含む複素指数関数的項が含まれる。
• 2つの関連する複素的安定点（□および○で表記）における寄与は、それぞれuとvに関する有理関数、多項式、対数関数項を含む異なる表現を示す。
• 振幅のα次の補正には、tan⁻¹(u)およびtan⁻¹(v)に比例する項に加え、(u±v)の有理関数が含まれており、境界3幾何のパラメータに非自明な依存性を示す。
• 2つの安定点寄与が逆位相因子を伴って重ね合わされることで、干渉的挙動を示し、遷移過程における量子コherー二ャンスの可能性を示唆する。