[論文レビュー] Manifolds of absolutely continuous curves and the square root velocity framework

Alexander Schmeding|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、強いリーマン多様体値の絶対連続曲線の空間に多様体構造を確立し、無限次元設定への古典的結果の一般化を達成する。平方根速度変換（SRVT）フレームワークを多様体値曲線へ拡張し、SRVTが滑らか（微分と平行移動）および連続（スケーリング）の2成分に分解されることを証明する。無限次元リー理論を用いて、リー群値曲線では完全な逆写像性が達成される。

ABSTRACT

A classical result in Riemannian geometry states that the absolutely continuous curves into a (finite-dimensional) Riemannian manifold form an infinite-dimensional manifold. In the present paper this construction and related results are generalised to absolutely continuous curves with values in a strong Riemannian manifolds. As an application we consider extensions of the square root velocity transform (SRVT) framework for shape analysis. Computations in this framework frequently lead to curves which leave the shape space (of smooth curves), and are only contained in a completion. In the vector valued case, this extends the SRVT to a space of absolutely continuous curves. We investigate the situation for shape spaces of manifold valued (absolutely continuous) curves.

研究の動機と目的

• 強いリーマン多様体 $M$ 値の絶対連続曲線の空間にバナッハ多様体構造を構成すること。
• 絶対連続曲線の多様体に関する古典的結果を無限次元設定に一般化すること。
• 平方根速度変換（SRVT）フレームワークを多様体値絶対連続曲線の形状空間へ拡張すること。
• 多様体設定におけるSRVTの滑らかおよび連続成分への分解を分析すること。
• 無限次元リー理論を用いて、リー群値絶対連続曲線におけるSRVTの逆写像性を確立すること。

提案手法

• 強いリーマン多様体 $M$ 値の絶対連続曲線の空間 $AC^p(I,M)$ を、ベクトル値 $L^p$-関数の空間にモデル化して多様体を構成する。
• 多様体 $M$ に強いリーマン計量 $G$ を用いることで、接空間上の位相が自然な位相と一致し、バナッハ多様体構造の構成が可能になる。
• $AC^p(I,M)$ 上の $L^p$-バンドルを、無限次元設定における微分幾何学のための主要な道具として導入する。
• 局所加法およびチャート技法を用いて多様体構造を証明し、局所座標における一様リプシッツ連続性およびノルム同値性に依存する。
• SRVTを微分、平行移動、スケーリングの合成として分析し、その滑らかおよび連続部分への分解を証明する。
• リー群値曲線の場合、最近の無限次元リー理論の結果を活用してSRVTがホメオモルフィズムであることを証明し、$L^2$-距離のプルバックが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いリーマン多様体値の絶対連続曲線の空間にバナッハ多様体構造を導入できるか？
• RQ2 多様体値絶対連続曲線へ拡張された平方根速度変換（SRVT）は、どのように分解されるか？
• RQ3 一般のリーマン多様体の形状空間の完備化において、拡張されたSRVTは逆写像可能か？
• RQ4 SRVTフレームワークはリー群値曲線へ一般化可能か？ もしそうなら、それはホメオモルフィズムか？
• RQ5 強いリーマン計量と $L^p$-バンドルは、曲線の無限次元多様体における微分幾何学を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• $M$ に強いリーマン多様体構造を持つ絶対連続曲線の空間 $AC^p(I,M)$ は、ベクトル値絶対連続関数の空間にモデル化されたバナッハ多様体をなす。
• $AC^p(I,M)$ の構成はリーマン計量 $G$ に依存せず、$M$ の強いリーマン多様体構造のみに依存する。
• 多様体値絶対連続曲線におけるSRVTは、滑らかな部分（微分と平行移動）と連続な部分（スケーリング）に分解され、ベクトル値の場合の結果が一般化される。
• リー群値曲線の場合、SRVTはホメオモルフィズムであり、$L^2$-距離のプルバックにより完備化上での距離が定義可能になる。
• $AC^p(I,M)$ 上の $L^p$-バンドルは微分幾何学的フレームワークにおいて不可欠であり、一様リプシッツ連続性および局所チャート技法を用いて構成される。
• 一般のリーマン多様体における拡張SRVTの逆写像性は未解決であるが、第3.7節にその証明のスケッチが提示されている。