[論文レビュー] Many-Body Localization: Concepts and Simple Models

Robert Sims, Günter Stolz|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Quantum many-body systems参考文献 51被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、無秩序なXYスピン鎖と相互作用する調和振動子系という2つの正確に解けるモデルにおいて、多体局在化を厳密に確立する。多体問題を有効な単粒子ハミルトニアンに還元することで、ゼロ速度のLieb-Robinson境界、基底状態および熱状態の相関関数の指数的減衰、エンタングルメントエントロピーの面積則を、系のサイズに一様に、任意の無秩序性に対して示した。これにより、均一なスペクトルギャップが存在しない状況下でも、無秩序性に起因する局在化が持続することを示した。

ABSTRACT

We review recent results on many-body localization for two explicitly analyzable models of many-body quantum systems, the XY spin chain in transversal magnetic field as well as interacting systems of harmonic quantum oscillators. In both models the presence of disorder leads to dynamical localization in the form of zero-velocity Lieb-Robinson bounds and to exponential decay of ground state correlations. Moreover, for oscillator systems one can also show exponential decay of thermal states as well as an area law bound for the entanglement entropy of ground and thermal states. The key fact which allows a rigorous analysis of these models is that they are given by many-body Hamiltonians which can be reduced to effective single particle Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 無秩序性を有する有限だが一様に制御可能な系における多体局在化の確立。
• 均一なスペクトルギャップが存在しない状況下でも、無秩序性によって誘導される移動度ギャップに依存して、局在化が相互作用系においても持続することの証明。
• 情報伝播のゼロ速度、指数的相関関数減衰、面積則といった、局在化の主要な特徴が、粒子数に一様に成り立つことの示唆。
• 還元可能なダイナミクスを有する正確に解けるモデルを分析することで、より複雑な多体系を研究するための基盤的枠組みの提供。

提案手法

• 正確な対角化技術を用いて多体ハミルトニアンを有効な単粒子作用素に還元する。
• ゼロ速度のLieb-Robinson境界を用いて動的局在化を証明し、有限速度を超えて情報が伝播しないことを示す。
• 二部エンタングルメントエントロピーの上界として対数的ネガティビティを適用し、面積則を導出する。
• 無秩序性下での有効単粒子ハミルトニアンのスペクトル性質を用いて、相関関数の指数的減衰を証明する。
• 基底状態および熱状態の両方に対して、リゾルベント型項（例：$ \|h_L^{-1/2}\| $）を含む対数的ネガティビティの決定的境界を導出する。
• 関数$ \phi(t) = t^{-1/2} \tanh(\beta t^{1/2}) $を用いて、正の温度における熱状態への面積則結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無秩序性を有する相互作用的多体系に対して、ゼロ速度のLieb-Robinson境界を厳密に確立できるか？
• RQ2 均一なスペクトルギャップが存在しない無秩序なオシレータ系において、基底状態および熱状態の相関関数が指数的に減衰するか？
• RQ3 移動度ギャップが存在する無秩序な多体系において、エンタングルメントエントロピーの面積則を証明できるか？
• RQ4 ハミルトニアンがギャップレスであっても、無秩序系における局在化効果が熱力学的極限においてどの程度持続するか？
• RQ5 基底状態および熱状態のエンタングルメントエントロピーが、系のサイズに依存せず、部分系の境界サイズによって上界で抑えられるか？

主な発見

• 無秩序なXYスピン鎖およびオシレータ系において、ゼロ速度のLieb-Robinson境界が証明され、情報伝播が存在しない動的局在化が示された。
• 仮定Aの下で、無秩序なオシレータモデルの基底状態相関関数が指数的に減衰することが確立された。これは、熱力学的極限でギャップレスであっても成り立つ。
• 無秩序なオシレータ系の基底状態に対して、エンタングルメントエントロピーの面積則が証明され、$ \mathbb{E}[S(\mathcal{P}_L^1)] \leq C' |\partial\Gamma| $ が、系のサイズに一様に成り立つ。
• 正の温度における熱状態に対しても、同じ面積則が成り立ち、$ \mathbb{E}[\mathcal{N}(\mathcal{P}_{L,\beta})] \leq C' |\partial\Gamma| $ が、修正されたリゾルベント関数$ \phi(t) $を用いて示された。
• 対数的ネガティビティはエンタングルメントエントロピーのタイトな上界を提供し、無限次元ヒルベルト空間におけるトレースクラス作用素ノルムの適用を可能にした。
• 結果は任意の次元および任意の無秩序強度に対して成り立つことから、無秩序多体系における局在化機構の強靭性が示された。