[論文レビュー] Mapping class group invariant unitarity of the Hitchin connection over Teichmüller space

Jørgen Ellegaard Andersen|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 68被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、テイヒミュラー空間上のヒッチン接続に、写像類群に依存しないヘルミート構造を構成し、すべてのレベル $k$ において標準的 $L^2$ 内積と一様に同値であることを証明する。構成は、ペア・オブ・パンツ分解に対応する境界点における漸近的挙動に依拠し、幾何的に定義された内積により射影的ユニタリ性を確立する。この内積は $L^2$ ノルムと一様な定数倍の関係にある。

ABSTRACT

We provide a geometric construction of the unitary structure which is projectively preserved by the Hitchin connection. We analyze the asymptotic behavior of it and we establish that it is uniformly in the level equivalent to the Hermitian structure induced by the L2 inner product on smooth sections.

研究の動機と目的

• テイヒミュラー空間上のヒッチン接続の量子 bundle に、写像類群作用に関して不変なヘルミート構造を構成すること。
• この構造がヒッチン接続によって射影的に保存されることを確立し、平行移動のもとで一貫性を保つこと。
• ペア・オブ・パンツ分解に対応するテイヒミュラー空間の境界点近傍におけるヘルミート構造の漸近的挙動を分析すること。
• 幾何的に構成されたヘルミート構造と標準的 $L^2$ 内積との間の、すべてのレベル $k$ における一様同値性を証明すること。
• 構成された内積が、実極化およびボア＝ゾンマーフェルドファイバーに関して幾何的量子化から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• ペア・オブ・パンツ境界における漸近的極限から得られる重み関数 $G^{(k)}_\sigma$ を用いて、量子空間 $H^{(k)}_\sigma$ 上にヘリウト構造 $[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$ を定義する。
• 重み関数 $G^{(k)}_\sigma$ を、ボア＝ゾンマーフェルドファイバー上での平行移動に沿った、共変定数セクションの極限として構成する。
• ジェフリー–ヴァイツマンの実極化および関連する分布的セクションを用いて、写像 $h_P: M \to [-2,2]^{3g-3}$ のファイバー上での共変定数セクションの基底を定義する。
• ファイバーごとの体積形式 $\Omega_{P,b}$ による積分を用いて内積を定義し、関数 $G^{(k)}_\sigma$ を用いてそれを全球的に拡張する。
• ある1形式 $\alpha$ が存在し、射影的保存条件を満たすことで、得られたヘリウト構造がヒッチン接続によって射影的に保存されることを証明する。
• 重み関数 $G^{(k)}_\sigma$ の制御と $1/k$ における漸近展開を用いて、$[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$ と $L^2$ 内積との一様同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テイヒミュラー空間上の量子 bundle $H^{(k)}$ に、写像類群作用に関して不変であり、かつヒッチン接続によって射影的に保存されるヘリウト構造が存在するか？
• RQ2 ペア・オブ・パンツ分解に対応するテイヒミュラー空間の境界におけるヘリウト構造の漸近的挙動は、その大域的性質にどのように影響を与えるか？
• RQ3 幾何的に構成されたヘリウト構造は、すべてのレベル $k$ およびテイヒミュラー空間のすべての点において、標準的 $L^2$ 内積と一様に同値か？
• RQ4 実極化に関して幾何的量子化を用いて、ヒッチン接続のユニタリ構造を自然に定義できるか？
• RQ5 構成された内積は、量子化写像の核に直交する、大域的に正しく定義された関数 $G^{(k)}_\sigma$ から生じるか？

主な発見

• ペア・オブ・パンツ分解からの漸近的データを用いて、写像類群に依存しないヘリウト構造 $[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$ が $H^{(k)}$ 上に構成された。
• 構成されたヘリウト構造はヒッチン接続によって射影的に保存され、ある1形式 $\alpha$ に対して $V[(s_1,s_2)] - (\nabla_V s_1, s_2) - (s_1, \nabla_V s_2) = \alpha(V)(s_1,s_2)$ を満たす。
• ヘリウト構造 $[\cdot,\cdot]^{(k)}_P$ は $L^2$ 内積と一様に同値である：任意の $s \in H^{(k)}_{\sigma_0}$ に対して、定数 $c_{P,\sigma_0}$ が存在し、$c^{-1}_{P,\sigma_0}\|s\|_{L^2} \leq \|s\|_{P,\sigma_0} \leq c_{P,\sigma_0}\|s\|_{L^2}$ が成り立つ。
• 内積は重み関数 $G^{(k)}_\sigma$ による積分を用いて定義され、これはボア＝ゾンマーフェルドファイバー上での平行移動による共変定数セクションの極限として構成される。
• 重み関数 $G^{(k)}_\sigma$ は $1/k$ における漸近展開をもち、この展開により同値定数の一様な制御が保証される。
• 最終的な内積の公式は $[s_1,s_2]_{P,\sigma}^{(k)} = \int_M \langle s_1,s_2 \rangle G^{(k)}_\sigma \frac{\omega^m}{m!}$ であり、これは $ one \sigma \in \mathcal{T}$ に対して一様に成り立つ。