[論文レビュー] Martin-L\"of Complexes

Steve Awodey, Pieter Hofstra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、内挿的 Martin-Löf 型理論に従って細胞を自由に生成するモノイドの代数としての Martin-Löf 複体を、反射的球体的集合上のモノイドの代数として導入する。主な結果は、1-切断された Martin-Löf 複体の圏に、ケイブリントに生成されたクイレンモデル構造が存在し、それが群コホモロジーの圏とクイレン同値であるということであり、これにより Martin-Löf 複体がホモトピー 1-型のモデルであることが確立される。

ABSTRACT

In this paper we define Martin-L\\"{o}f complexes to be algebras for monads on the category of (reflexive) globular sets which freely add cells in accordance with the rules of intensional Martin-L\\"{o}f type theory. We then study the resulting categories of algebras for several theories. Our principal result is that there exists a cofibrantly generated Quillen model structure on the category of 1-truncated Martin-L\\"{o}f complexes and that this category is Quillen equivalent to the category of groupoids. In particular, 1-truncated Martin-L\\"{o}f complexes are a model of homotopy 1-types.

研究の動機と目的

• ホモトピー 1-型をモデル化する代数的構造の型理論的構成を形式化すること。
• 内挿的型理論を内部化する反射的球体的集合上のモノイドの代数としての Martin-Löf 複体を定義すること。
• 1-切断された Martin-Löf 複体の圏にクイレンモデル構造を確立すること。
• このモデル構造が群コホモロジーの圏とクイレン同値であることを証明すること。
• Martin-Löf 複体が内挿的型理論の同一型を含むホモトピー的解釈を提供することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、内挿的 Martin-Löf 型理論の規則に従って細胞を自由に追加する反射的球体的集合の圏上のモノイドを定義する。
• 彼らは、依存積、和、同一型、自然数を含む型理論的演算を符号化するこのモノイド上の代数として Martin-Löf 複体を構成する。
• 論文は、型理論的枠組み内での群コホモロジー的構造をモデル化するために「ダブルガングァー」の概念を導入する。
• 重要な技術的ステップとして、基本群コホモロジー関手 $ \boldsymbol{\flat}_1 $ の左随伴 $ K $ を構成し、モデル構造におけるパス対象の議論を可能にする。
• モデル構造の構成において、$ \mathbf{MLC}_1 $ におけるクイレンモデル構造が、グラフとのコテンソル積とパス対象の構成を用いて、ケイブリントに生成されることを示す。
• クイレン同値性の証明は、随伴 $ K \dashv \boldsymbol{π}_1 $ の単位と余単位が弱同値であることを示すことに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内挿的 Martin-Löf 型理論を用いて、球体的集合上のカテゴリカル代数的構造を通じてホモトピー 1-型のモデルを構成できるか？
• RQ2 1-切断された Martin-Löf 複体の圏に、同一型のホモトピー的性質を反映するクイレンモデル構造が存在するか？
• RQ3 Martin-Löf 複体上の基本群コホモロジー関手 $ \boldsymbol{π}_1 $ は、群コホモロジーの圏とどのように関係しているか？
• RQ4 自由群コホモロジー構成は、$ \mathbf{MLC}_1 $ と群コホモロジーの間のクイレン同値性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 Martin-Löf 複体の代数的構造は、1-型レベルにおける内挿的型理論の完全なホモトピー的内容を捉えられるか？

主な発見

• 1-切断された Martin-Löf 複体の圏に、ケイブリントに生成されたクイレンモデル構造が存在する。
• このモデル構造は、群コホモロジーの圏とクイレン同値であり、Martin-Löf 複体がホモトピー 1-型のモデルであることを確立する。
• Martin-Löf 複体から群コホモロジーへの基本群コホモロジー関手 $ \boldsymbol{π}_1 $ は、その左随伴 $ K $ と組み合わせてクイレン同値の一部を構成する。
• 随伴 $ K \dashv \boldsymbol{π}_1 $ の単位と余単位が弱同値であることが確認され、クイレン同値性が裏付けられる。
• $ K $ の構成は、反射的球体的集合上の自由群コホモロジーを繰り返しパス対象の余極限として実現することに依拠する。
• 関手 $ \boldsymbol{π}_1 $ を通じて、$ M_1 $-代数の圏が群コホモロジーの圏と同値であることが示される。