[論文レビュー] T-model structures on chain complexes of presheaves

Halvard Fausk|ArXiv.org|Dec 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グローテンディークトポス上のR-加群の前層の複体のカテゴリーにテンソルモデル構造を構成し、射影的モデル構造を一般化するとともに、茎ごとのホモロジー同型を用いて局所化する。トポスに十分な点を持つとき、このモデル構造のホモトピー圏は導来圏と同値であり、標準的および perverse t-構造を一般化するある種のt-構造が、複体のカテゴリー上のt-モデル構造へと持ち上げられる。

ABSTRACT

A tensor model structure is constructed on the category of chain complexes of presheaves of R-modules for a sheaf of rings R in a Grothendieck topos. If the topos has enough points, then the homotopy category is equivalent to the derived category. Some t-structures, generalizing the perverse t-structures, are constructed on the derived category.

研究の動機と目的

• R-加群の射影的モデル構造を、グローテンディークトポス上のR-加群の前層の複体へ拡張すること。
• 茎ごとのホモロジー同型を基準として射影的モデル構造を局所化することにより、このカテゴリーにおけるテンソルモデル構造を構成すること。
• トポスに十分な点があるとき、得られるホモトピー圏が、R-加群の層の導来圏と同値であることを示すこと。
• 標準的および一般化された perverse t-構造を含むある種のt-構造を、導来圏から複体のカテゴリーのモデル圏へと持ち上げ、t-モデル構造を形成すること。

提案手法

• 弱同値を前層のホモロジー同型と定義することにより、R-加群の射影的モデル構造を、前層の複体へ一般化する。
• 一般化された射影的モデル構造がテンソル的であることを証明し、モノイダル構造を保存することを示す。
• 準単体的モデル構造を導入し、射影的モデル構造が準単体的公理を満たすことを示す。
• 茎ごとのホモロジー同型を基準として射影的モデル構造を局所化し、茎ごとのモデル構造を構成する。
• 茎ごとのモデル構造がテンソルモデル圏であり、トポスに十分な点があるとき、その弱同値が層のホモロジー同型と一致することを示す。
• 各点においてZ ∪ {±∞} のカットオフ値を割り当てることにより、D_R 上のt-構造を構成し、それが複体のカテゴリー上のt-モデル構造へと持ち上がることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R-加群の射影的モデル構造を、グローテンディークトポス上の前層の複体へ、テンソル構造を保ちつつ拡張できるか？
• RQ2 前層の複体における茎ごとのモデル構造のホモトピー圏が、R-加群の層の導来圏と一致する条件は何か？
• RQ3 導来圏上のt-構造を、前層の複体のカテゴリーにおけるt-モデル構造へどのように持ち上げられるか？
• RQ4 十分な点を持つトポスにおいて、茎ごとのホモロジー同型と層のホモロジー同型の関係は何か？
• RQ5 導来圏上の一般化された perverse t-構造は、複体のモデル圏におけるt-モデル構造へどの程度まで持ち上げられるか？

主な発見

• R-加群の前層の複体における射影的モデル構造は一般化され、テンソル的であることが示され、モノイダル構造と整合的であることが保証される。
• 茎ごとのホモロジー同型を基準として射影的モデル構造を局所化することにより得られる茎ごとのモデル構造は、テンソルモデル圏である。
• トポスに十分な点があるとき、茎ごとのモデル構造における弱同値は、正確に層のホモロジー同型であり、ホモトピー圏は導来圏 D_R と同値である。
• 各点に Z ∪ {±∞} のカットオフ値を割り当てることにより、D_R 上のt-構造の族を構成し、標準的および perverse t-構造を一般化する。
• これらのt-構造は、複体のカテゴリー上のt-モデル構造へと持ち上がり、導来t-構造のモデル理論的実現を提供する。
• 特に良好な性質を示すt-構造に関連する部分カテゴリー (D_R)≥0 および (D_R)≤0 について、明示的な記述が与えられる。