[論文レビュー] $\mathbb{C}^*$-actions on generalized Calogero-Moser spaces and Hilbert schemes

Tomasz Przeździecki|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化されたCalogero-Moser空間およびHilbertスキームに$ℂ^*$-作用を定義し、反射函手を用いて、$ℂ^*$-固定点に誘導される写像が一般化された$l$-multipartitionからcoreへの分割への双対性に対応することを示す。これにより、$q$-フック公式の新しい証明と一般化が得られ、Gordonによる固定点のラベル付けに関する予想が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper we study $\mathbb{C}^*$-actions on generalized Calogero-Moser spaces and Hilbert schemes. The spectrum of the centre of the rational Cherednik algebra associated to the complex reflection group $(\mathbb{Z}/l\mathbb{Z}) \wr S_n$ at $t=0$ is isomorphic, via the Etingof-Ginzburg map, to a certain Nakajima quiver variety. Assuming smoothness, reflection functors yield a hyper-K\{a}hler isometry between this quiver variety and a subvariety of a Hilbert scheme. We show that the induced map on the labelling sets of $\mathbb{C}^*$-fixed points is given by a version of the classical bijection between $l$-multipartitions and partitions with a certain fixed core depending on the choice of parameters, as claimed by Gordon in [10]. We apply this result to obtain a new proof and a generalization of the $q$-hook formula.

研究の動機と目的

• 一般化されたCalogero-Moser空間およびHilbertスキームにおける$ℂ^*$-作用の構造を理解すること。
• 反射函手を用いて、Nakajimaのクオーバーディアグラム多様体とHilbertスキームの部分多様体との間のハイパーカレル等長写像を確立すること。
• この等長写像によって誘導される$ℂ^*$-固定点のラベル写像が、固定coreを持つ$l$-multipartitionと分割の間の一般化された古典的双対性に対応することを検証すること。
• この幾何的対応を用いて、$q$-フック公式の新しい証明と一般化を導出すること。

提案手法

• Etingof-Ginzburg写像を用いて、有理Cherednik代数の中心のスペクトルを$t=0$におけるNakajimaのクオーバーディアグラム多様体と同一視する。
• 反射函手を適用して、クオーバーディアグラム多様体とHilbertスキームの部分多様体との間のハイパーカレル等長写像を構成する。
• この等長写像の下での$ℂ^*$-固定点への誘導写像を解析し、特定のcoreを持つ$l$-multipartitionと分割の間の組合せ的双対性に対応することを示す。
• $ℂ^*$-作用の幾何を用いて、両多様体の固定点構造の関係を調べ、組合せ的恒等式を導出する。
• 滑らかさの仮定を用いて、反射函手の構成とそれによって得られる等長写像の正当性を保証する。
• 得られた対応を活用して、幾何的手段により$q$-フック公式を再導出し、一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたCalogero-Moser空間およびHilbertスキームにおける$ℂ^*$-作用は、幾何的にどのように関係しているか？
• RQ2 クオーバーディアグラム多様体とHilbertスキームの$ℂ^*$-固定点集合の間の写像の正確な性質は何か？
• RQ3 この写像は、固定coreを持つ$l$-multipartitionと分割の間の既知の組合せ的双対性に対応するか？
• RQ4 この幾何的対応は、$q$-フック公式の証明または一般化に用いることができるか？
• RQ5 反射函手の構成が、この文脈において$ℂ^*$--equivariant構造をどの程度保存するか？

主な発見

• 誘導された$ℂ^*$-固定点ラベル写像は、パrametersによって定まるcoreを持つ$l$-multipartitionと分割の間の古典的双対性の一般化に一致する。
• 反射函手を用いて構成されたハイパーカレル等長写像は、$ℂ^*$-作用を保存し、固定点に自然な対応を誘導する。
• 幾何的対応により、$q$-フック公式の新しい証明が得られ、パrameterのより広いクラスに一般化される。
• 結果として、有理Cherednik代数の文脈における$ℂ^*$-固定点のラベル付けに関するGordonの予想が裏付けられる。
• 構成はクオーバーディアグラム多様体の滑らかさに依存しており、これにより反射函手法の正当性が保証される。
• 本稿は、HilbertスキームおよびCalogero-Moser空間の文脈において、表現論的幾何と組合せ的恒等式の直接的な関係を確立する。