[論文レビュー] Mollification of $\mathcal{D}$-solutions to Fully Nonlinear PDE Systems

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、可測で滑らかでない写像を解として許容する完全非線形PDE系の一般化された解である$π$-解に対して、新たな滑らか化スキームを導入する。ヤング測度をコンactified接空間に適用することで、元の解に対して弱*収束する滑らかな近似を構築する。これは、古典的な畳み込みおよびsup/inf畳み込み技法を双対性を要しない確率的枠組みへと拡張するものである。

ABSTRACT

In a recent paper (arXiv:1501.06164) the author has introduced a new theory of generalised solutions which applies to fully nonlinear PDE systems of any order and allows the interpretation of merely measurable maps as solutions. This approach is duality-free and builds on the probabilistic representation of limits of difference quotients via Young measures over certain compactifications of the "state space". Herein we establish a systematic regularisation scheme of this notion of solution which, by analogy, is the counterpart of the usual mollification by convolution of weak solutions and of the mollification by sup/inf convolutions of viscosity solutions.

研究の動機と目的

• 可測で滑らかでない写像を解として許容する完全非線形PDE系の一般化された解のクラスである$π$-解に対する体系的な正則化スキームを構築すること。
• 弱解や粘性解に用いられてきた古典的滑らか化技法を、ヤング測度による確率的表現に基づく双対性を要しない枠組みへと拡張すること。
• ヤング測度の弱*位相における滑らか化解の収束を確立し、元の$π$-解の構造と整合性を保証すること。
• 楕円型または双曲型の仮定を必要とせず、不連続係数を有する完全非線形PDE系を解析するための強固な解析的ツールを提供すること。
• 測度論的収束に基づく差分商の収束を根拠とする統一的な滑らか化機構を導入することで、弱解理論と粘性解理論の溝を埋めること。

提案手法

• 可測写像$u$の$p$次接空間$D^{[p]}u$を、アレクサンドロフコンパクト化$\overline{\mathbb{R}}^{Nn} \times \cdots \times \overline{\mathbb{R}}^{Nn^p}_s$値をとるヤング測度$\mathcal{D}^{[p]}u$として表現する。
• ヤング測度の弱*コンパクト性を用いて、差分商$D^{1,h}u$の部分列を抽出し、$\mathscr{Y}(\Omega, \overline{\mathbb{R}}^{Nn})$内での極限$\mathcal{D}u$への収束を保証する。
• 標準的な滑らか化核$\rho_\varepsilon$との畳み込みにより、候補解$u$を滑らかに近似する滑らか化手順$u_\varepsilon$を定義する。
• 差分商の極限の確率的表現をヤング測度を用いて適用し、滑らか化された接空間$D^{[p]}u_\varepsilon$が元の$\mathcal{D}^{[p]}u$に弱*収束することを保証する。
• 残差$F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$の成長を制御し、局所的測度収束を確立するために、$\psi^\nu(x) = \min\{|f^\nu(x)| \chi_{\Omega' \setminus E}(x), 1\}$を用いた切断補正を採用する。
• 文献[FG]の補題3.36および補題16に依拠し、$F$を含む積分において極限を取ることで、滑らか化された系が元の$\mathcal{D}$-解に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測で滑らかでない解を許容する完全非線形PDE系の一般化された解に対して、体系的な滑らか化スキームを構築可能か？
• RQ2 古典的な畳み込みに基づく滑らか化を、可測で滑らかでない解のためのヤング測度に基づく双対性を要しない枠組みへとどのように適応できるか？
• RQ3 ヤング測度表現における弱*位相で、滑らか化された解の列が元の$\mathcal{D}$-解に収束するか？
• RQ4 $\mathcal{D}$-解において、$\nu \to \infty$のとき残差$F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$が測度上で消えるための条件は何か？
• RQ5 解の局所可積分性や古典的微分可能性を仮定しないで、滑らか化された解の収束を確立できるか？

主な発見

• 滑らか化列$u_\varepsilon$は、関連するヤング測度$\mathcal{D}^{[p]}u_\varepsilon$が$\mathscr{Y}(\Omega, \overline{\mathbb{R}}^{Nn} \times \cdots \times \overline{\mathbb{R}}^{Nn^p}_s)$内での元の$\mathcal{D}^{[p]}u$に弱*収束するという意味で、元の可測解$u$に収束する。
• 残差$F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)$は、$\Omega$のコンパクト部分集合上で測度収束し、滑らか化された解が極限においてPDE系を近似的に満たすことを示唆する。
• 滑らか化された接空間の収束は、$\psi^\nu(x) = \min\{|f^\nu(x)| \chi_{\Omega' \setminus E}(x), 1\}$を用いた切断補正により確立され、等積分性を保証し、極限への移行を可能にする。
• ほとんど至る所の$x \in \Omega \setminus E$において、$\mathcal{D}^{[p]}u(x)$の台は$\mathbb{R}^{Nn} \times \cdots \times \mathbb{R}^{Nn^p}_s$に含まれるため、確率測度は有限空間上で正しく定義され、無限大における特異性を回避する。
• 鍵となる不等式$\varepsilon \cdot |(\Omega' \setminus E) \cap \{|f^\nu| > \varepsilon\}| \leq \int_{\Omega' \setminus E} \min\{|F(x, u^\nu, D^{[p]}u^\nu)|, 1\} \, dx$から、$f^\nu$は測度上で$0$に収束し、部分列に沿って a.e. に収束する。
• 証明は、ほとんど至る所で$\sup_{\underline{\mathbf{X}} \in \text{supp}_*(\mathcal{D}^{[p]}u(x))} |F(x, u(x), \underline{\mathbf{X}})| = 0$であるという事実に依拠しており、これはヤング測度の本質的台上で残差が恒等的に消えることを保証する。