[論文レビュー] Mathematical models and search algorithms for the capacitated $p$-center problem

Raphael Kramer, Manuel Iori+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Facility Location and Emergency Management被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特化した数学的定式化、有効な不等式（特に、論理和に基づくサブセットサム不等式を含む）、および逐次探索と二分探索の中間的な性能を示す新たなレイヤードサーチ戦略を用いて、容量制約付き $p$-center問題の分解型正確アルゴリズムを提案する。本研究は、402頂点までで整数距離を有する文献に掲載されたすべてのインスタンスを、最適性を保証して解き、そのうち13件の未解決事例も含む。また、最大3,038頂点のインスタンスに対しても、10分以内に妥当解を発見した。

ABSTRACT

The capacitated p-center problem requires to select p facilities from a set of candidates to service a number of customers, subject to facility capacity constraints, with the aim of minimizing the maximum distance between a customer and its associated facility. The problem is well known in the field of facility location, because of the many applications that it can model. In this paper, we solve it by means of search algorithms that iteratively seek the optimal distance by solving tailored subproblems. We present different mathematical formulations for the subproblems and improve them by means of several valid inequalities, including an effective one based on a 0-1 disjunction and the solution of subset sum problems. We also develop an alternative search strategy that finds a balance between the traditional sequential search and binary search. This strategy limits the number of feasible subproblems to be solved and, at the same time, avoids large overestimates of the solution value, which are detrimental for the search. We evaluate the proposed techniques by means of extensive computational experiments on benchmark instances from the literature and new larger test sets. All instances from the literature with up to 402 vertices and integer distances are solved to proven optimality, including 13 open cases, and feasible solutions are found in 10 minutes for instances with up to 3038 vertices.

研究の動機と目的

• 容量制約付き $p$-center問題に対する正確解法の開発。この問題はNP困難であり、緊急サービスや物流分野において極めて重要である。
• 施設の容量制約と顧客-施設間距離の最大値を最小化するという施設配置問題の課題に取り組む。
• 特化した数学的定式化と有効な不等式を用いて、解法の効率を向上させる。
• 最適距離の過大評価を避けつつ、同時に解く必要のある部分問題の数を削減するような探索戦略の設計。
• 整数距離および小数距離を有するベンチマークおよび新規の大規模インスタンス（最大3,000頂点）に対する性能評価。

提案手法

• 候補となる最適距離に対して、反復的に容量制約付き集合被覆部分問題を解く分解アプローチを用いる。
• 逐次探索と二分探索の中間的性質を持つレイヤードサーチ戦略を採用し、部分問題の反復回数を削減するとともに、距離の過大評価を回避する。
• 0-1論理和に基づく有効な不等式を導入し、部分問題の線形緩和を強化するためにサブセットサム問題を解く。
• 強い線形緩和境界を提供する代替のアークフロー定式化を構築する。
• 対称性を壊す制約と有効な不等式を適用し、分枝限定法における最適性ギャップとノード探索数を削減する。
• 部分問題の解法を妥当な距離範囲に制限する計算戦略を採用し、全体の効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レイヤードサーチ戦略は、容量制約付き $p$-center問題の解法において、従来の逐次探索および二分探索を上回る性能を示せるか？
• RQ2 論理和に基づく有効な不等式とサブセットサム問題は、部分問題の線形緩和をどの程度緊密化できるか？
• RQ3 提案された定式化と探索アルゴリズムは、402頂点までで整数距離を有するすべてのベンチマークインスタンスを、最適性を保証して解けるか。特に、これまで未解決であった事例も含むか？
• RQ4 小数距離を有する大規模インスタンス（最大3,000頂点）に対して、アルゴリズムの性能はどのようにスケーリングするか？
• RQ5 新規の定式化と不等式は、分枝限定木における探索ノード数をどの程度削減できるか？

主な発見

• 402頂点までで整数距離を有するすべてのベンチマークインスタンスが、最適性を保証して解かれた。その中には13件の未解決事例も含まれる。
• レイヤードサーチ戦略（L2, L3, L4）は、平均ギャップが最も小さく、特に小数距離に対して最も安定していた。
• 逐次探索（SS）は整数距離インスタンスを最も多く解いたが、最適解の保証と所要時間の両面で、レイヤードサーチ（L4）が最も優れた総合的性能を示した。
• 小数距離に対しては、レイヤードサーチが反復回数の削減と過大評価の良好な取り扱いにより、逐次探索および二分探索を顕著に上回った。
• 論理和に基づくサブセットサム不等式は、下界の向上と分枝限定法における探索ノード数の削減に効果を発揮した。
• すべてのインスタンスについて、最大3,038頂点のものに対しても、10分以内に妥当解が得られた。これは、大規模問題へのスケーラビリティを示している。