[論文レビュー] Mathematical models of spontaneous symmetry breaking

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Feb 17, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子および古典的ゲージ理論におけるスピン対称性の自発的破れ（SSB）の包括的な数学的枠組みを提供し、代数的量子理論、公理的QFT、群論、微分幾何学の概念を統合する。SSBは、C*-代数の自己同型がユニタリ表現を許さない場合に生じ、これにより射影表現およびU(1)-コサイクルによる中心拡大が生じる。古典的には、ヒッグス場は関連バンドルの全空間への全般的切断として対応し、構造群を縮小させ、正確な対称性を持つ物質場を定義する。

ABSTRACT

The Higgs mechanism of mass generation is the main ingredient in the contemporary Standard Model and its various generalizations. However, there is no comprehensive theory of spontaneous symmetry breaking. We summarize the relevant mathematical results characterizing spontaneous symmetry breaking phenomena in algebraic quantum theory, axiomatic quantum field theory, group theory, and classical gauge theory.

研究の動機と目的

• 量子および古典的場理論におけるスピン対称性の自発的破れ（SSB）の包括的数学的理論の欠如に対処すること。
• 代数的量子理論、公理的QFT、群論、古典的ゲージ理論におけるSSBを、厳密な数学的構造を用いて統一すること。
• ヒッグス場が商バンドルの全般的切断として果たす役割を明確化すること。
• 特に重力理論およびヤン・ミルズ理論において、ヒッグス場とゲージ構造群の縮約との対応関係を確立すること。
• 接続および表現に対する幾何学的・代数的制約を通じて、質量の出現および正確な対称性を形式化すること。

提案手法

• 状態および自己同型を表現するためにC*-代数におけるGNS構成を用い、物理的状態をヒルベルト空間表現に結びつける。
• GNS定理を適用して、自己同型が循環的ベクトルを保存しない限り、ユニタリ表現を許さないことを示し、射影表現を導く。
• 表現の可換子から得られる二重コサイクルk(g,g')を用いて、対称性群Gの中心U(1)-拡大を導入し、射影表現を特徴付ける。
• G-主バンドルPのH-主部分バンドルと、商バンドルP/H → Xの全般的切断hとの間の一対一対応を確立し、hを古典的ヒッグス場として特定する。
• 引き戻し構成P^h = h^*P_Σを用いて、縮約されたH-バンドルおよび関連物質場（Y_h → Xの切断として）を定義する。
• P^h上の接続を解析し、D_A^h h = 0が成り立つのは、P上の接続AがP^hに制限されるときであることを示し、ヒッグス場とゲージ不変性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数およびその自己同型を用いた代数的量子理論において、スピン対称性の自発的破れをどのように厳密に定式化できるか。
• RQ2 射影表現および中心拡大が、対称性のユニタリ実現の失敗をどのように特徴付けるか。
• RQ3 ゲージ理論において、古典的ヒッグス場がどのように商バンドルP/H → Xの全般的切断として現れるか。
• RQ4 G-主バンドルがH-部分バンドルに縮約可能となる条件は何か。また、そのような縮約が同型となる条件は何か。
• RQ5 縮約されたH-バンドル上の接続とヒッグス場の共変微分の関係は何か。これはゲージ不変性にどのような含意を持つか。

主な発見

• スピン対称性の自発的破れは、C*-代数の自己同型がGNSヒルベルト空間においてユニタリ表現を許さない場合に生じ、U(1)-値の二重コサイクルによって特徴づけられる射影表現に帰着する。
• 状態fのGNS表現は、自己同型ρがユニタリ表現U_ρを備え、U_ρθ_f = θ_fを満たす場合にのみ、ρによる不変性を示し、表現の一意性を保証する。
• ヒッグス場hは、P/H → Xの全般的切断に対応し、関連するH-主部分バンドルP^hは引き戻しh^*P_Σとして与えられ、対称性の破れの幾何的実現を提供する。
• 商G/Hがユークリッド空間微分同相（例えば、最大コンパクト部分群の場合）であると、すべてのH-部分バンドルが同型となり、縮約の位相的自明性が保証される。
• P上の主接続AがP^hに制限されるのは、共変微分D_A hが消えるときであり、これによりヒッグス場とゲージ不変性が結びつく。
• 再帰的G-構造（g = h ⊕ m かつ ad(H)(m) ⊆ m）において、P上の任意の接続のH成分はP^h上に引き戻され、ゲージ力学の整合性が保証される。