[論文レビュー] $\mathsf{L}^1$-elliptic regularity and $H=W$ on the whole $\mathsf{L}^p$-scale on arbitrary manifolds

Davide Guidetti, Batu Güneysu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の非コンパクト多様体上の任意のヘルミートベクトル bundle 上で、$ℓ^1$-楕円型正則性と $ℓ^p$-スケール全体における $H=W$ 性質を確立する。一般化された楕円型条件の下で、滑らかな切断が $ℓ^{π,p}$-空間に dense であることを証明し、$p=1$ の場合におけるベソフ空間における新規な局所正則性結果を用いて、$p>1$ と比較して1階微分の損失を補うことで、マイヤーズ・セリニの定理を一般化した幾何的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We define abstract Sobolev type spaces on $\mathsf{L}^p$-scales, $p\in [1,\infty)$, on Hermitian vector bundles over possibly noncompact manifolds, which are induced by smooth measures and families $\mathfrak{P}$ of linear partial differential operators, and we prove the density of the corresponding smooth Sobolev sections in these spaces under a generalized ellipticity condition on the underlying family. In particular, this implies a covariant version of Meyers-Serrin q{}s theorem on the whole $\mathsf{L}^p$-scale, for arbitrary Riemannian manifolds. Furthermore, we prove a new local elliptic regularity result in $\mathsf{L}^1$ on the Besov scale, which shows that the above generalized ellipticity condition is satisfied on the whole $\mathsf{L}^p$-scale, if some differential operator from $\mathfrak{P}$ that has a sufficiently high (but not necessarily the highest) order is elliptic.

研究の動機と目的

• 任意のリーマン多様体およびヘルミートベクトルバンドル上へのマイヤーズ・セリニの定理の一般化を、$ℓ^p$-スケール上での抽象的 $π$-ソボレフ空間の定義により実現する。
• 一般化された楕円型条件の下で、これらの抽象的ソボレフ空間における滑らかな切断の稠密性を確立し、非コンパクトかつ幾何的に複雑な設定への古典的結果の拡張を達成する。
• $ℓ^1$-ケースでは標準的な楕円型正則性が失敗するが、1階微分の損失を補うために、新規な局所正則性結果（ベソフ空間における）を用いて $ℓ^1$-楕円型正則性を確立する。
• リーマン多様体上の共変微分による $ℓ^{k,p}$-空間が要求される局所正則性を満たすことを示し、完全な楕円型条件を必要としない $H=W$ 結果の実現を可能にする。

提案手法

• ヘルミートベクトルバンドルを備えた多様体上に、線形微分作用素の族 $π$ と滑らかな測度 $\mu$ を用いて、抽象的 $π$-ソボレフ空間 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$ を定義する。
• 局所正則性 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{k-1,p}_{\mathrm{loc}}}(X,E)$ が成り立つならば、その $π$-ソボレフ空間における滑らかな切断の稠密性を示す、重要な抽象的結果（定理 2.9）を確立する。
• $p=1$ におけるベソフ空間における新規な局所楕円型正則性結果を証明し、$k$ 階の作用素が楕円型であるならば、$ℓ^{π,1}$-関数は $p>1$ と比較して1階微分の損失を伴い、$\mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}$-正則性を獲得することを示す。
• 双対性の議論と、楕円型系のベソフスケール上での存在・一意性に関する新規な結果（補題 A.3）を用いて、$ℓ^{\beta+n}_{p,p}$ および $ℓ^{\beta+n}_{\infty,\infty}$ におけるモデル方程式の可解性を確立する。
• ベソフ空間の補間およびトレース性質を応用し、$p>1$ の結果を $p=1$ に拡張し、$ℓ^p$-スケール全体をカバーする。
• 抽象的枠組みをリーマン多様体と共変微分に適用し、$\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\mathrm{loc}}}(M,E)$ を証明する。これは、接続の楕円型性を仮定しなくても $H=W$ 結果を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト多様体上の $π$-ソボレフ空間において、滑らかな切断の空間がいつ稠密になるか。
• RQ2 古典的局所推定が失敗する $ℓ^1$-状況において、$ℓ^1$-楕円型正則性をどのように確立できるか。
• RQ3 楕円型系の下で、$ℓ^1$-ソボレフ関数の正確な正則性上昇は何か。$p>1$ の場合とどのように異なるか。
• RQ4 コンパクト性や完全な楕円型性を仮定しない一般のリーマン多様体およびベクトルバンドル上でも、マイヤーズ・セリニの定理を拡張できるか。
• RQ5 共変微分による定義されたソボレフ空間が、非コンパクト多様体上でもどの程度 $H=W$ 性質を満たすか。

主な発見

• 一般化された楕円型条件が成り立つ限り、$\Gamma_{\mathsf{C}^\infty_{\mathrm{c}}}(X,E) \cap \Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$ は $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$ に稠密である。これは、最大階数 $k$ の作用素が楕円型である場合、$ℓ^1$-ケースを含む。
• $p=1$ の場合、ある $P_j$ が $k$ 階で楕円型であるならば、局所正則性条件 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1}_{\mu}}(X,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}}(X,E)$ が成り立つ。これは、反例によってその最適性が示されている。
• ベソフ空間における新規な局所楕円型正則性結果により、$ℓ^1$-ソボレフ関数は $p>1$ の場合と比較して1階微分の損失を伴い、具体的には、最大階数作用素の楕円型性の下で $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1} \subset \mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}$ が成り立つ。
• 抽象的結果（定理 2.9）は最適である。ある非楕円型作用素 $P$ に対して、$q>1$ に対して $\mathsf{W}^{P,q}$ が $\mathsf{W}^{\mathrm{ord}(P)-1,q}_{\mathrm{loc}}$ に含まれない例があり、また $\mathsf{C}^\infty \cap \mathsf{W}^{P,q}$ が $\mathsf{W}^{P,q}$ に稠密でない例も存在する。
• 任意のリーマン多様体 $(M,g)$ に対して、共変微分によるソボレフ空間 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E)$ は $p \in (1,\infty)$ に対して $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\mathrm{loc}}}(M,E)$ に含まれる。これは、接続の楕円型性を仮定しなくても $H=W$ 性質が成り立つことを示唆する。
• 補題 A.3 により、双対性および弱コンパクト性を用いて、特定の楕円型系のベソフ空間上での解の存在・一意性が確立され、これは $ℓ^1$-正則性結果の証明に不可欠である。