[論文レビュー] Matrix Models and Gravitational Corrections

Robbert Dijkgraaf, Annamária Sinkovics+1 more|ArXiv.org|Nov 25, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、平面的限界を超えて、超対称ゲージ理論における重力的補正と行列モデルの間の明確な関係を確立し、トーラス型（genus-one）行列モデルの図が有効作用の $1/N^2$ における一次の補正を計算することを示している。この補正が既知のトポロジカル場理論の結果と一致し、ハイパーエリプティック曲線上の集団的 conformal field theory におけるねじれスカラー場の相関関数によって記述されることを示している。全トーラス型自由エネルギーは、ハイパーエリプティック曲線上のスター演算子を含むチャーラル行列式によって与えられる。

ABSTRACT

We provide evidence of the relation between supersymmetric gauge theories and matrix models beyond the planar limit. We compute gravitational R^2 couplings in gauge theories perturbatively, by summing genus one matrix model diagrams. These diagrams give the leading 1/N^2 corrections in the large N limit of the matrix model and can be related to twist field correlators in a collective conformal field theory. In the case of softly broken SU(N) N=2 super Yang-Mills theories, we find that these exact solutions of the matrix models agree with results obtained by topological field theory methods.

研究の動機と目的

• 超対称ゲージ理論の行列モデル記述を平面的限界を超えて重力的補正を含む形に拡張すること。
• トーラス型図を用いて、行列モデル自由エネルギーにおける一次の $1/N^2$ 補正 ($\mathcal{F}_1$) を計算すること。
• この補正をハイパーエリプティック曲線上の集団的 conformal field theory におけるねじれスカラー場の相関関数と関連づけること。
• 行列モデルによる $\mathcal{F}_1$ の結果が、$SU(N)$ ${\cal N}=2$ 超ヤンミルズ理論における既知のトポロジカル場理論およびシーイバーグ＝ウィッテン理論の結果と一致することを検証すること。

提案手法

• スペクトル曲線上のラプラシアンの関数的行列式として、トーラス型自由エネルギー $\mathcal{F}_1$ を行列モデルのループ方程式を用いて計算する。
• 集団的場をねじれボソンとして記述するための conformal field theory 手法を適用し、分岐点にねじれスカラー場 $\sigma(x_i)$ を挿入する。
• バーチャル・アフィン代数の制約を満たすために、モード展開と conformal 不変性条件を用いてスター演算子 $S(x_i)$ を導入する。
• トーラス型分配関数を $Z_{\text{matrix}} = A^{-1/2} \Delta^{-1/12}$ として明示的に計算する。ここで $A$ は周期行列、$\Delta$ はバーデルモンド行列式である。
• 行列モデルの結果を、トポロジカル場理論およびシーイバーグ＝ウィッテン双対性から得られるゲージ理論の分配関数と比較する。
• 集団的場表現を用いて、行列モデルを非コンパクトなカーボリ・ヤウ幾何における2次元 conformal field theory に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal N}=2$ 超対称ゲージ理論における重力的 $R^2$ 耦合項は、平面的限界を超えて行列モデルを用いてどのように計算できるか？
• RQ2 ねじれスカラー場およびその相関関数を用いて、トーラス型補正の正確な CFT 述語は何か？
• RQ3 バーチャル・アフィン代数の制約は、単純なねじれスカラー場相関関数をどのように修正するのか？スター演算子はこの問題をどのように解決するのか？
• RQ4 行列モデルによる $\mathcal{F}_1$ の結果は、$SU(N)$ ゲージ理論におけるトポロジカル場理論の計算とどの程度一致するか？
• RQ5 トーラス型自由エネルギーは、スペクトル曲線上のラプラシアンのチャーラル行列式として表現できるか？

主な発見

• トーラス型行列モデル自由エネルギー $\mathcal{F}_1$ は、$\log Z_{\text{matrix}} = -\frac{1}{2} \log \det \Delta_0 - \frac{1}{24} \sum_i \log \mu_{3/2}(x_i)$ で与えられ、ここで $\Delta_0$ はスペクトル曲線上のラプラシアンである。
• 全分配関数は $Z_{\text{matrix}} = A^{-1/2} \Delta^{-1/12}$ で与えられ、$A$ は周期行列、$\Delta$ はバーデルモンド行列式である。
• この結果は、トポロジカル場理論およびシーイバーグ＝ウィッテン双対性から得られるゲージ理論の分配関数と完全に一致する。
• トーラス型補正は、チャーラル行列式としてのラプラシアンから生じ、集団的 CFT 述語の出現を確認する。
• スター演算子 $S(x_i)$ の使用により、単純なねじれスカラー場のバーチャル・アフィン代数制約違反が解消され、共形不変性が保証される。
• 最終的な $\mathcal{F}_1$ の式は、カーボリ・ヤウ3次元多様体の振幅に対して一般化されたレイ・シンガー解析的 torsion 公式と整合的である。