[論文レビュー] Maximum Cliques in Graphs with Small Intersection Number and Random Intersection Graphs

Sotiris Nikoletseas, Christoforos Raptopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、頂点数に対して多項式的に増加するラベル数と小さいラベル選択確率を仮定した場合、ランダムインターセクショングラフにおける最大クリークを多項式時間で求めるアルゴリズムを提示する。主な貢献は、高確率で大きなクリークが1つのラベルによって形成されることを示す「単一ラベルクリーク定理」であり、これによりラベル解析による効率的なクリーク検出が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we relate the problem of finding a maximum clique to the intersection number of the input graph (i.e. the minimum number of cliques needed to edge cover the graph). In particular, we consider the maximum clique problem for graphs with small intersection number and random intersection graphs (a model in which each one of $m$ labels is chosen independently with probability $p$ by each one of $n$ vertices, and there are edges between any vertices with overlaps in the labels chosen). We first present a simple algorithm which, on input $G$ finds a maximum clique in $O(2^{2^m + O(m)} + n^2 \min\{2^m, n\})$ time steps, where $m$ is an upper bound on the intersection number and $n$ is the number of vertices. Consequently, when $m \leq \ln{\ln{n}}$ the running time of this algorithm is polynomial. We then consider random instances of the random intersection graphs model as input graphs. As our main contribution, we prove that, when the number of labels is not too large ($m=n^α, 0< α<1$), we can use the label choices of the vertices to find a maximum clique in polynomial time whp. The proof of correctness for this algorithm relies on our Single Label Clique Theorem, which roughly states that whp a "large enough" clique cannot be formed by more than one label. This theorem generalizes and strengthens other related results in the state of the art, but also broadens the range of values considered. As an important consequence of our Single Label Clique Theorem, we prove that the problem of inferring the complete information of label choices for each vertex from the resulting random intersection graph (i.e. the \emph{label representation of the graph}) is \emph{solvable} whp. Finding efficient algorithms for constructing such a label representation is left as an interesting open problem for future research.

研究の動機と目的

• 一般のグラフにおける最大クリーク問題の非 tractability を解決するために、インターセクション数が小さいグラフに焦点を当てる。
• 実世界のネットワークに関連するモデルとして、ランダムインターセクショングラフにおける最大クリークを効率的に計算するアルゴリズムを開発する。
• 最大クリークを高確率で多項式時間で求められる条件を確立する。
• ランダムインターセクショングラフにおける大きなクリークが通常は1つのラベルによって形成されることを証明し、ラベルベースのクリーク検出を可能にする。
• 高確率で、グラフ構造からラベル表現を一意に再構成可能であることを示す。

提案手法

• インターセクション数の上界 m を用いて、サイズ 2^m までのすべてのクリーク部分集合を列挙するブルートフォース法を提案する。
• チェルノフの不等式を用いて、ランダムインターセクショングラフにおけるラベル次数と頂点のラベル集合サイズの集中を確立する。
• 単一ラベルクリーク定理を導入し、mp² = O(1) の条件下で、サイズが np に近いクリークが複数のラベルによって形成される確率が非常に小さいことを証明する。
• 確率的解析を用いて、複数ラベルクリークの発生確率を抑え、与えられたパrameter設定下でこのようなクリークがまれであることを示す。
• 最大尤度推定法を用いて、グラフから頂点のラベル集合を再構成し、高確率で一意であることを証明する。
• パラメータ m = n^α (0 < α < 1) および mp² = O(1) を満たす G_{n,m,p} ランダムインターセクショングラフモデルを分析し、クリークの構造的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムインターセクショングラフにおける最大クリークが、どのような条件下で多項式時間で計算可能となるか？
• RQ2 ランダムインターセクショングラフにおける大きなクリークが、主に1つのラベルによって形成されることを示せるか？
• RQ3 ランダムインターセクショングラフのラベル表現が、高確率でグラフ構造から一意に再構成可能か？
• RQ4 インターセクション数が最大クリーク問題の tractability にどのように関係するか？
• RQ5 m = n^α および mp² = O(1) の条件下で、ランダムインターセクショングラフにおける最大クリークの漸近的サイズは何か？

主な発見

• インターセクション数 m が m ≤ ln ln n を満たす場合、提案アルゴリズムは多項式時間で実行可能である。
• m = n^α (0 < α < 1) かつ mp² = O(1) を満たすランダムインターセクショングラフにおいて、最大クリークは高確率で多項式時間で求められる。
• m = n^α かつ mp² = O(1) の G_{n,m,p} において、最大クリークのサイズは漸近的に np に等しい。
• 単一ラベルクリーク定理により、高確率で複数のラベルによって形成される大きなクリークは存在せず、これにより効率的なクリーク検出が可能になる。
• 最大尤度推定法を用いることで、高確率でグラフ構造からラベル表現を一意に再構成可能である。
• mp = ω(ln n) のパラメータ領域において、G_{n,m,p} の彩色数は Ω(nmp² / ln n) であることが示され、グラフは完全に近い性質とは大きく異なることが示唆される。一方、本研究で考察されたパラメータ領域ではクリーク構造が明確に現れる。