[論文レビュー] Maximum Likelihood Estimation for Hawkes Processes with self-excitation or inhibition

Bonnet, Anna, Anna Bonnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2021

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、自己励起と自己抑制の両方を有する1変量 Hawkes プロセスに対する正確な最尤推定法を提案する。再起動点を用いて指数カーネルに対する閉形式の補償関数を導出する。近似手法と比較して、強度が頻繁にゼロとなる場合に著しく推定精度が向上し、神経科学やファイナンス分野における実世界応用が可能な合成データ実験でも優れた性能を示す。

ABSTRACT

In this paper, we present a maximum likelihood method for estimating the parameters of a univariate Hawkes process with self-excitation or inhibition. Our work generalizes techniques and results that were restricted to the self-exciting scenario. The proposed estimator is implemented for the classical exponential kernel and we show that, in the inhibition context, our procedure provides more accurate estimations than current alternative approaches.

研究の動機と目的

• 自己励起と自己抑制の両方を扱える1変量 Hawkes プロセスの最尤推定手順の開発。
• 特に1変量の場合に限定して、抑制的 Hawkes プロセスの統計的推定手法の不足を解消すること。
• 潜在的な強度関数と再起動時刻を導入することで正確な尤度計算を可能とし、正確なパrameter推定を実現すること。
• 負の強度値を仮定する既存の近似手法や、抑制を隠れた変数として扱う手法の改善。
• 神経パルスの発火や市場マイクロ構造効果など、反発的または抑制的相互作用を示す現象の正確なモデリングを可能とすること。

提案手法

• 条件付き強度のクリッピングを施さない潜在的強度関数 $\lambda^\star(t)$ を導入し、負の値を許容する。
• 各イベント $T_k$ の直後で強度 $\lambda(t)$ が再び厳密に正になる最初の時刻 $T_k^\star$ を再起動時刻 $T_k^\star$ として定義する。
• 再起動点を用いて観測区間を、強度がゼロまたは正である区間に分割し、補償関数の正確な計算を可能にする。
• 単調な指数カーネル下での補償関数 $\Lambda(t)$ の閉形式表現を導出し、正確な尤度評価に不可欠な基盤を構築する。
• 再起動点の明示的構造と強度の正の部分を活用して、正確な尤度関数を最大化する。
• Python で実装されたオープンソースコードを提供し、再現可能性と実世界応用への実用性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己抑制カーネルを有する1変量 Hawkes プロセスに対して、潜在関数で強度が負となる場合に正確な最尤推定手順を開発できるか。
• RQ2 再起動点は、抑制が存在する状況でも補償関数および尤度の正確な計算をどのように可能にするか。
• RQ3 強度が抑制のため頻繁にゼロとなる場合、正確な MLE 法は既存の近似手法を上回る性能を示すか。
• RQ4 ベースライン強度と抑制強度が合成データにおける推定精度に与える影響は何か。
• RQ5 強度が長時間ゼロとなる区間を多く含む状況では、正確な手法と近似尤度の性能にどのような差が生じるか。

主な発見

• 強度関数が頻繁にゼロとなる場合、特に抑制的領域において、提案手法の正確な MLE 法は近似尤度アプローチを著しく上回る。
• 高い抑制を示すモデル（例：$\bar{\alpha} = -2.5$, $\bar{\beta} = 1.8$）では、近似法が著しく不正確な推定値（$\hat{\alpha} \approx -8.15 \times 10^6$）を出力した一方、正確な手法は安定的かつ正確に保たれた。
• 潜在的強度が非負である場合（すなわち抑制がない場合）、両手法の性能は類似しており、自己励起ケースにおける正確な手法の妥当性を裏付けた。
• 正確な手法の適合度検定のp値は、すべてのシナリオで0.5以上を維持した。これは適合度の著しい欠落がないことを示し、一方で近似法は高抑制ケースで著しい適合不良を示した（例：p値 = 5.12×10⁻⁶）。
• 強度が時間の大部分でゼロとなる場合、特に $\alpha$ と $\beta$ に関して、正確な手法の相対絶対誤差は一貫して低く抑えられた。
• 強い抑制が存在する困難な状況においても、高い精度を達成しており、合成データ実験においてその頑健性と信頼性を示した。