[論文レビュー] Maximum Matching in Semi-Streaming with Few Passes

Christian Konrad, Frédéric Magniez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2011

Optimization and Search Problems参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1/2を超える近似比を達成する、少ないパス数で最大マッチングを処理する新しい準ストリーミングアルゴリズムを提示する。ランダムな辺の順序を仮定した場合、二部グラフに対して1パスの確率的アルゴリズムを提案し、近似比1/2 + 0.005を達成する。また、2パスの決定的アルゴリズムを用いて、二部グラフでは1/2 + 0.019、一般のグラフでは1/2 + 0.0071の近似比を達成する。この手法は、エッジのフィルタリングと補助的な森およびマッチング構造を用いた増幅パスの検出を含む。

ABSTRACT

In the semi-streaming model, an algorithm receives a stream of edges of a graph in arbitrary order and uses a memory of size $O(n \mbox{ polylog } n)$, where $n$ is the number of vertices of a graph. In this work, we present semi-streaming algorithms that perform one or two passes over the input stream for maximum matching with no restrictions on the input graph, and for the important special case of bipartite graphs that we refer to as maximum bipartite matching (MBM). The Greedy matching algorithm performs one pass over the input and outputs a $1/2$ approximation. Whether there is a better one-pass algorithm has been an open question since the appearance of the first paper on streaming algorithms for matching problems in 2005 [Feigenbaum et al., SODA 2005]. We make the following progress on this problem: In the one-pass setting, we show that there is a deterministic semi-streaming algorithm for MBM with expected approximation factor $1/2+0.005$, assuming that edges arrive one by one in (uniform) random order. We extend this algorithm to general graphs, and we obtain a $1/2+0.003$ approximation. In the two-pass setting, we do not require the random arrival order assumption (the edge stream is in arbitrary order). We present a simple randomized two-pass semi-streaming algorithm for MBM with expected approximation factor $1/2 + 0.019$. Furthermore, we discuss a more involved deterministic two-pass semi-streaming algorithm for MBM with approximation factor $1/2 + 0.019$ and a generalization of this algorithm to general graphs with approximation factor $1/2 + 0.0071$.

研究の動機と目的

• 1パスの準ストリーミングアルゴリズムが、最大マッチングの1/2を超える近似比を達成できるかどうかという未解決問題に取り組む。
• 少ないパス数で、準ストリーミングモデル下での最大二部マッチングおよび一般最大マッチングのための効率的アルゴリズムを設計する。
• ランダムな辺の到着順序を仮定した1パス設定において、グリーディアルゴリズムの1/2近似比の壁を打ち破る。
• ランダム順序の仮定を必要とせず、改善された近似比を達成する決定的2パスアルゴリズムを開発する。
• 2パスモデルにおいて、任意のグラフおよび任意の辺の順序に対して動作するように、手法を一般化する。

提案手法

• グリーディマッチングをベースとし、その後に3増幅パスに使用可能なエッジを特定するフィルタリングフェーズを実施する。
• 初期マッチングに含まれないエッジからなる森Fを構築し、次数の上限bを設定して、潜在的な増幅を分析する。
• 2パス設定では、最初のパスでマッチングM'とエッジ集合MRを維持し、3増幅パスを検出する。
• 次数制約と頂点カバーを用いた組合せ的バインドを適用し、増幅可能なエッジの数を下界付ける。
• 2段階戦略を採用：最初のパスでベースマッチングと補助構造を計算し、2番目のパスで増幅パスを特定して追加する。
• 確率的および極値的議論を用いて、増幅不可能なエッジの数をバインドし、近似保証を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな辺の順序を仮定した場合、1パスの準ストリーミングアルゴリズムが最大二部マッチングにおいて1/2を超える近似比を達成できるか？
• RQ2 ランダム順序の仮定を必要とせず、最大二部マッチングにおいて1/2を超える近似比を達成する決定的2パスアルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 2パスの準ストリーミングモデルにおいて、一般のグラフで達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ4 補助的な森における次数制約と頂点カバーは、マッチングプロセスにおける増幅可能なエッジの数にどのように影響するか？
• RQ5 3増幅パスの解析を一般化することで、2パス設定において改善された近似要因を導出可能か？

主な発見

• 最大二部マッチングのための確率的1パスアルゴリズムは、一様ランダムな辺の順序を仮定した場合、期待近似比1/2 + 0.005を達成する。
• 一般最大マッチングのための1パスアルゴリズムは、同じランダム順序仮定下で、期待近似比1/2 + 0.003を達成する。
• 最大二部マッチングのための決定的2パスアルゴリズムは、ランダム順序の仮定を必要とせず、近似比1/2 + 0.019を達成する。
• 一般最大マッチングのための決定的2パスアルゴリズムは、エッジの到着順序に関する仮定を一切不要で、近似比1/2 + 0.0071を達成する。
• 解析により、適切に選択された部分集合M'aの少なくとも1/3のエッジが3増幅パスにより増幅可能であることが示され、近似比の向上に寄与する。
• パラメータの最適選択により、2パスの決定的設定下で一般のグラフに対して1/2 + 1/140 ≈ 1/2 + 0.007142の近似要因が達成可能である。