[論文レビュー] Metric geometries over the split quaternions

Andrew Dancer, Henning Jørgensen+1 more|ArXiv.org|Dec 10, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スピン三ササキアン多様体を導入し、-twistor理論とスワーンバンドルを用いて、不定な実解析的共形多様体とパラケーラー幾何の間の対応を確立する。全同型なパラケーラー多様体をミラーマップを用いて分類し、スピンクaternionの幾何と超シンプレクティック構造を活用して、同一の基底多様体上に異なるパラケーラー計量が生じることを示している。

ABSTRACT

We give an overview of some recent results in hypersymplectic and para-quaternionic Kahler geometry, and introduce the notion of split three-Sasakian manifold. In particular, we discuss the twistor spaces and Swann bundles of para-quaternionic Kahler manifolds. These are used to classify examples with a fully homogeneous action of a semi-simple Lie group, and to construct distinct para-quaternionic Kahler metrics from indefinite real analytic conformal manifolds. We also indicate how the theory of toric varieties gives rise to constructions of hypersymplectic manifolds.

研究の動機と目的

• スピンクaternionとその関連計量を用いたパラケーラー多様体の幾何的枠組みを構築すること。
• 半単純リー群による完全同型作用をもつパラケーラー多様体を分類すること。
• twistor理論とスワーンバンドルを用いて、不定な実解析的共形多様体からパラケーラー計量をグローバルに構成すること。
• 例の構成において、超シンプレクティック幾何とトーリック幾何の相互作用を探索すること。
• 同一の基底多様体上に異なる共形構造が与えられた場合、それらが異なるパラケーラー計量を生じることを示すこと。

提案手法

• スピンクaternionの代数を用いて、R^{4n} 上に符号型 (2,2) の計量を定義し、群 Sp(n,B) ≅ Sp(2n,R) が等長的に作用することを示す。
• スワーンバンドルを、計量の退化性にもかかわらずパラケーラー多様体幾何を符号化する超シンプレクティック多様体として構成する。
• パラケーラー多様体にtwistor理論を適用し、twistor空間を C^{k+4} 内の完全に自己直交する2次元部分空間のグラスマン多様体 Gr^0_2(C^{k+4}) として特定する。
• 符号型 (p+1,q+1) の擬リーマン多様体 (X,h) の複素化を用いて、零測地線の複素接触多様体を定義し、twistor空間を形成する。
• 複素化された零測地線空間に実構造 σ を導入し、その固定点が実零測地線に対応することを特定する。
• 無限遠の超曲面を定義する関数 t を用いた漸近公式 g = ĥ − t^{−2}(dt² − h^∥ + h^⊥) を用いて、無限遠近傍でのパラケーラー計量を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不定な実解析的共形多様体から、どのようにグローバルにパラケーラー計量を構成できるか？
• RQ2 スワーンバンドルはパラケーラー多様体幾何をどのように符号化するのか？ また、その退化性は構成にどのような影響を与えるか？
• RQ3 twistor理論を用いて、完全同型な半単純リー群作用をもつパラケーラー多様体を分類できるか？
• RQ4 パラケーラー計量の無限遠近傍における漸近的性質は、元の多様体の共形構造をどのように反映するか？
• RQ5 トーリック幾何とミラーマップ技術は、超シンプレクティック設定にどのように拡張され、新たな例を生み出すか？

主な発見

• 不定符号型 (p+1,q+1) の実解析的共形多様体は、twistor理論を用いて局所的に異なるパラケーラー計量を生じる。
• パラケーラー多様体のtwistor空間は、C^{k+4} 内の完全に自己直交する2次元部分空間のグラスマン多様体であると特定され、ここで k = p+q ≥ 2 である。
• 実twistor直線の集合は、g = ĥ − t^{−2}(dt² − h^∥ + h^⊥) に漸近的に近づくパラケーラー多様体をなす。
• 異なる共形構造 (X,[h]) が非等長なパラケーラー多様体を生じることを保証するため、多様な例の豊富な族が得られる。
• スワーンバンドルの構成は、退化性が存在しても、グローバルな超シンプレクティック構造を提供し、パラケーラー多様体幾何を符号化する。
• 半単純リー群による完全同型作用をもつパラケーラー多様体の分類は、ミラーマップ技術と Sp(n,B) × Sp(1,B) の構造を用いて達成される。