[論文レビュー] Minimal Basis in Four Dimensions and Scalar Blocks

Freddy Cachazo, Guojun Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ゲージ理論におけるn粒子のtree-level $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 部分振幅に対して、4次元の最小基底を導入し、それが $\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ 個の基底要素の線形結合として表現可能であることを示している—ここで係数はスカラーおよび擬スカラーの組み合わせである。この構成は、新しい対象としてのスカラー・ブロックを用い、双随伴スカラー振幅を $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクターに分解し、重力のKLT関係式の本質的に4次元的な形を導く。

ABSTRACT

We find a construction that expresses any tree-level $n$-particle ${ m N^{k-2}MHV}$ color-ordered partial amplitude in gauge theory as a linear combination of a basis of dimension $\eulerian{n-3}{k-2}$. Here $\eulerian{p}{q}$ denotes the $(p,q)$ Eulerian number. The coefficients of the expansion are independent of the helicities of the particles. This basis is a four-dimensional refinement of the $(n-3)!$-element BCJ basis which is valid in any number of dimensions. The construction uses a new kind of objects which we call {\it scalar blocks}. Here we initiate the study of these objects. Scalar blocks provide an "${ m N^{k-2}MHV}$ sector" decomposition of a bi-adjoint scalar amplitude in four dimensions. As byproducts of the construction, we also find an intrinsically four-dimensional version of KLT relations for gravity amplitudes.

研究の動機と目的

• ゲージ理論におけるn粒子の $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 色順序付き部分振幅の独立した数を、BCJ基底の $(n-3)!$ 要素より減らすことを目的とし、4次元運動学的性質を活用する。
• $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクターに対して、サイズ $\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ の最小基底を構築し、その係数が粒子のヘリシティに依存しないようにする。
• スカラー・ブロック—新しい構築要素—を定義・研究し、4次元において双随伴スカラー振幅を $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクターに分解する。
• スカラー・ブロック形式を用いて、重力振幅のKLT関係式の本質的に4次元的な形を導出する。

提案手法

• 著者らは、穴あきリーマン球のモジュライ空間上の線積分によって定義される、$\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 雙随伴スカラー・ブロック $m_{n,k}(\alpha,\beta)$ を、Cachazo-He-Yuan (CHY) 形式を用いて計算する。
• スカラー・ブロックは、$\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクターにおけるCHY方程式の解として構成され、その解の数はオイラー数 $\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ に等しい。
• この手法により、任意の $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 部分振幅が、ヘリシティに依存しないスカラーおよび擬スカラーの組み合わせによる係数を伴うスカラー・ブロックの線形結合として表現される。
• 純粋にスカラー係数の場合、基底サイズは $2\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ に増加するが、これは $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ および $\mathrm{N}^{n-k-2}\mathrm{MHV}$ セクターの両方に同時に適用可能である（対称性による）。
• この構成はCHY被積分形式を用い、運動量保存を強制するデルタ関数と縮小されたパフュージャンの積分を含む多次元線積分として振幅を計算する。
• スカラー・ブロックが、標準的な双随伴スカラー振幅 $m_n(\alpha,\beta)$ のセクター分解を提供することが示され、$\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 成分への新たな分解を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元において、$n$点のゲージ理論振幅の $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクターを、BCJ基底の $(n-3)!$ 次元より小さくできるか？
• RQ2 4次元において $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 振幅を記述するために必要な独立した基底要素の最小数は何か？
• RQ3 スカラー・ブロックを用いて、4次元における全双随伴スカラー振幅を $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクターに分解できるか？
• RQ4 4次元におけるCHY形式は、重力のKLT関係式に対して新たな、本質的に4次元的な形式を可能にするか？
• RQ5 基底展開の係数を純粋にスカラー（Mandelstam不変量のみの関数）にできるか？その場合の基底サイズは？

主な発見

• 4次元における $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ 振幅の最小基底の次元は $\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ であり、BCJ構成の $(n-3)!$ 基底より顕著に小さい。
• 基底展開における係数は、ヘリシティに依存しないスカラーおよび擬スカラーの組み合わせであり、CHY形式におけるスカラー・ブロックを通じて計算される。
• 純粋にスカラー係数の場合、基底サイズは $2\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ に増加し、オイラー数の対称性により、$\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ および $\mathrm{N}^{n-k-2}\mathrm{MHV}$ セクターの両方に同時に適用可能である。
• スカラー・ブロック $m_{n,k}(\alpha,\beta)$ は、全双随伴スカラー振幅 $m_n(\alpha,\beta)$ を $\mathrm{N}^{k-2}\mathrm{MHV}$ セクター成分に分解する。各ブロックはCHY形式により計算可能である。
• この構成により、重力振幅のKLT関係式の本質的に4次元的な形が得られ、スカラー・ブロック構造に基づき、4次元で有効である。
• $n=5$ および $n=6$ の明示的例は、スカラー・ブロックが既知の振幅を再現することを確認しており、独立した振幅の数がオイラー数 $\genfrac{<}{>}{0pt}{}{n-3}{k-2}$ と一致することを示している。