[論文レビュー] Resultants and Gravity Amplitudes

Freddy Cachazo|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、${\cal N}=8$ スーパーグラビティにおける木レベルの散乱振幅を、$\tilde{d}=n-d-2$ を満たす双次数$(d,\tilde{d})$の正則写像の積分として表現することにより、明示的にパリティ不変な形式を提示する。2つの既存の形式—ランク$n-3$の行列の擬似行列式に基づくもの—は著しく簡略化される：一方は${\rm R}(\lambda){\rm R}(\tilde{\lambda})$の積に、他方は多項式除算によってヤコビアンがキャンセルされ、重力振幅の背後にある深い代数的構造が明らかになる。

ABSTRACT

Two very different formulations of the tree-level S-matrix of N=8 Einstein supergravity in terms of rational maps are known to exist. In both formulations, the computation of a scattering amplitude of n particles in the k R-charge sector involves an integral over the moduli space of certain holomorphic maps of degree d=k-1. In this paper we show that both formulations can be simplified when written in a manifestly parity invariant form as integrals over holomorphic maps of bi-degree (d,n-d-2). In one formulation the full integrand becomes directly the product of the resultants of each of the two maps defining the one of bi-degree (d,n-d-2). In the second formulation, a very different structure appears. The integrand contains the determinant of a (n-3)x(n-3) matrix and a 'Jacobian'. We prove that the determinant is a polynomial in the coefficients of the maps and contains the two resultants as factors.

研究の動機と目的

• ${\cal N}=8$ スーパーグラビティ振幅の2つの既存形式を、構造は異なるが既知の同値性を持つ枠組みで統一・簡略化すること。
• 双次数$(d,\tilde{d})$で$\tilde{d}=n-d-2$ を満たす正則写像を用いて、振幅を明示的にパリティ不変な形に再定式化すること。
• 2つの形式に現れる行列式構造の代数的起源を明確にすること、特に一方の形式におけるヤコビアンの役割を解明すること。
• 両形式の行列式構造が、多項式写像の結果式に還元可能であることを示し、被積分関数を簡略化すること。

提案手法

• ${\mathbb C}P^1 \to {\mathbb C}P^1$ における次数$d$および$\tilde{d}$の2つの正則写像を用いて、$\sigma \to (\lambda(\sigma), \tilde{\lambda}(\sigma))$ という双次数$(d,\tilde{d})$の写像を構築する。
• 最初の形式を、結果式${\rm R}(\lambda){\rm R}(\tilde{\lambda})$の積を含む積分として表現し、被積分関数を明示的に対称な形で捉える。
• 2番目の形式を、$(n-3)\times(n-3)$行列の行列式とヤコビアンを含む形に再定式化し、行列式が写像係数に関する多項式であり、${\rm R}(\lambda)$および${\rm R}(\tilde{\lambda})$の因子を含むことを示す。
• ヤコビアン部が多項式除算によって完全にキャンセルされることを証明し、被積分関数全体が結果式の積に簡略化されることを示す。
• 超対称化を用いて形式を${\mathbb C}P^{1|4} \times {\mathbb C}P^{1|4}$に拡張し、R対称性とオンシェル超空間制約を含める。
• 写像係数のスケーリングに対して全振幅測度が不変であることを示し、幾何学的に自然な構造であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの既知の${\cal N}=8$ スーパーグラビティ振幅形式を、明示的にパリティ不変な枠組みで統合することは可能か？
• RQ2 2番目の形式における行列式およびヤコビアン構造の代数的起源は何か？ そして、それらは1番目の形式における結果式とどのように関係するか？
• RQ3 2番目の形式におけるヤコビアンが多項式除算によって完全にキャンセルされる理由は何か？ これは幾何学的構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 測度$\prod d^{2|4}{\mathbb{M}}_\alpha \cdot {\rm R}(\lambda)$ は、そのスケーリング不変性から、幾何学的に自然な対象と見なせるか？
• RQ5 簡略化された振幅形式はBCFW再帰関係を満たすか？ もしそうなら、因子化挙動は結果式構造からどのように導かれるか？

主な発見

• 最初の形式は、双次数$(d,\tilde{d})$の写像において、明示的に対称な形で被積分関数を捉える結果式${\rm R}(\lambda){\rm R}(\tilde{\lambda})$の積を含む、明示的対称な積分に簡略化される。
• 2番目の形式の行列式が、写像係数に関する多項式であり、${\rm R}(\lambda)$および${\rm R}(\tilde{\lambda})$に因数分解可能であることが証明され、残りの部分がヤコビアンである。
• ヤコビアン部が多項式除算によって完全にキャンセルされることを示し、被積分関数全体が最初の形式と同一の結果式の積に簡略化されることを示した。
• 全振幅は、双次数$(d,\tilde{d})$の写像に関する1つの積分として表現され、測度$\prod d^{2|4}{\mathbb{M}}_\alpha \cdot {\rm R}(\lambda)$ は写像係数のスケーリングに対して不変であるため、幾何学的に自然な構造であることが示された。
• ソフト極限における因子化挙動が、結果式構造${\rm R}(\lambda^{L}\lambda^{R}) \sim {\rm R}(\lambda^L){\rm R}(\lambda^R)$ によって自然に再現され、既知の物理的極限と整合することが確認された。
• 2つの形式の同値性が代数的に確立され、一方の形式における複雑な行列式とヤコビアン構造が、他方の形式では単純な結果式の積に還元されることを示した。