[論文レビュー] Mirror Symmetry for Calabi-Yau complete intersections in Fano toric varieties

Anvar R. Mavlyutov|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、${\mathbb{Q}}$-反射的多面体と${\mathbb{Q}}$-正の分割を導入することで、フェノ多面体的ファイブレーションにおけるカゼビ・ヤウ完結交差に、バチレーヴ＝ボリスォフ鏡像対称性を一般化する。これは、正則特異点を持つ有理多面体への双対性を拡張する。主な結果は、文字通りのホッジ数の鏡像対称性の予想である：$h^{p,q}_{\rm st}(Y_{\Delta}) = h^{d-r-p,q}_{\rm st}(Y_{\nabla})$。これは、双対な${\mathbb{Q}}$-正の分割によって定義される一般のカゼビ・ヤウ完結交差に対して成り立つ。

ABSTRACT

Generalizing the notions of reflexive polytopes and nef-partitions of Batyrev and Borisov, we propose a mirror symmetry construction for Calabi-Yau complete intersections in Fano toric varieties.

研究の動機と目的

• カゼビ・ヤウ超曲面からフェノ多面体的ファイブレーションにおける完結交差へのバチレーヴ＝ボリスォフ鏡像対称性の構成を拡張すること。
• ${\mathbb{Q}}$-反射的多面体と${\mathbb{Q}}$-正の分割を導入することで、有理多面体への反射的多面体と正の分割の一般化を実現すること。
• ${\mathbb{Q}}$-正の分割同士の双対性を定義し、それによって関連するカゼビ・ヤウ完結交差のホッジ数を交換する鏡像対称性を実現すること。
• ${\mathbb{Q}}$-正の分割とほぼ反射的ゴレンシュタイン錐を用いて、正則特異点の存在下での鏡像対称性の枠組みを確立すること。
• ほぼ反射的ゴレンシュタイン錐の双対性が、$N=2$ スーパーカンフォーマル場理論にまで鏡像対称性の対応を拡張できるかどうかを予想すること。

提案手法

• ${\mathbb{Q}}$-反射的多面体を、$({\rm Conv}(\Delta \cap \mathbb{Z}^d))^* \cap \mathbb{Z}^d = \Delta^*$ を満たす有理多面体$\Delta$として定義し、二重極性作用の下での双対性を保証する。
• ${\mathbb{Q}}$-正の分割を、$0 \in \Delta_i$ かつ ${{\rm Conv}}(\Delta_i \cap \mathbb{Z}^d)$-加法性を満たす、ミンコフスキー和分解$\Delta = \Delta_1 + \cdots + \Delta_r$として定義する。
• すべての$i,j$に対して$\langle \Delta_i \cap \mathbb{Z}^d, \nabla_j \rangle \geq -\delta_{ij}$ を満たす条件により、双対${\mathbb{Q}}$-正の分割$\nabla = \nabla_1 + \cdots + \nabla_r$を構成する。
• Fano多面体的ファイブレーション$X_\Delta$を、$K$ を$\Delta \times \{1\}$の上にある錐とするとき、${\rm Proj}(\mathbb{C}[K \cap (M \oplus \mathbb{Z})])$ として表現し、斉次座標の階数付き環記述を可能にする。
• Cox座標と$\Delta^*$の頂点とのペアリングを用いた方程式によって、カゼビ・ヤウ完結交差$Y_{\Delta_1,\dots,\Delta_r} \subset X_\Delta$を定義する。一般係数$a_{i,m}$を用いる。
• 双対${\mathbb{Q}}$-正の分割のストリング的ホッジ数を結ぶ鏡像対称性の予想を提示する：$h^{p,q}_{\rm st}(Y_{\Delta}) = h^{d-r-p,q}_{\rm st}(Y_{\nabla})$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バチレーヴ＝ボリスォフ鏡像対称性の構成を、カゼビ・ヤウ超曲面からフェノ多面体的ファイブレーションにおける完結交差へ拡張できるか。
• RQ2 正則特異点を持つ有理多面体に対して、反射的多面体と正の分割の適切な一般化は何か。
• RQ3 ${\mathbb{Q}}$-正の分割の双対性が、トポロジー的テストで予測されるように、ストリング的ホッジ数を交換する鏡像対称性を生じるか。
• RQ4 カゼビ・ヤウ完結交差が${\mathbb{Q}}$-正の分割で$0 \in \Delta_i$を満たさない場合、鏡像対称性の対応はどのように振る舞うか。
• RQ5 ほぼ反射的ゴレンシュタイン錐の双対性は、$N=2$ スーパーカンフォーマル場理論の観点から、どのように解釈できるか。

主な発見

• ${\mathbb{Q}}$-反射的多面体の構成により、反射的多面体よりも広いクラスの有理多面体（正則特異点を含む）に対して、双対性の対合が得られる。
• 双対${\mathbb{Q}}$-正の分割$\nabla = \nabla_1 + \cdots + \nabla_r$は、条件$\langle \Delta_i \cap \mathbb{Z}^d, \nabla_j \rangle \geq -\delta_{ij}$ によって一意に定まり、ボリスォフの双対性を一般化する。
• ${\mathbb{Q}}$-反射的多面体$\Delta$に付随するFano多面体的ファイブレーション$X_\Delta$は、至るところ正則特異点をもつ。これは、ゴレンシュタインフェノ条件を拡張する。
• 提案された鏡像対称性の予想は、ホッジ数の双対性を予測する：$h^{p,q}_{\rm st}(Y_{\Delta_1,\dots,\Delta_r}) = h^{d-r-p,q}_{\rm st}(Y_{\nabla_1,\dots,\nabla_r})$。これはすべての$0 \leq p,q \leq d-r$ に対して成り立ち、バチレーヴ＝ボリスォフの結果を一般化する。
• ほぼ反射的ゴレンシュタイン錐$\sigma \mapsto \sigma^\bullet$の双対性は、一般化されたカゼビ・ヤウ多様体に付随する$N=2$ スーパーカンフォーマル場理論の鏡像対称性に対応すると予想される。
• 非${\mathbb{Q}}$-正の分割の場合は、双対Cayley錐${\cal C}_{\Delta_1,\dots,\Delta_r}$の双対を用いて鏡像が構成され、非標準的な場合への双対性の拡張が達成される。