[論文レビュー] Mirror symmetry with branes by equivariant Verlinde formulae

Tamás Hausel, Anton Mellit+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、SL₂ ヒッグスモジュライ空間上のU(1,1)ヒッグスブレーンと、ハイパーカロリックディラックバンドルの偶数外積の間のニール・ヒッチンの鏡映性対称性予想について、強力な計算的証拠を提供する。等長的ヴェルリンドの公式を用いて、GL₂ ヒッグスモジュライ空間における鏡像ブレーン間の半古典的ホモーモーフィズムの等長的インデックスを計算・一致させ、その結果、半古典的極限における双対性を裏付ける謎めいた関数方程式が得られた。

ABSTRACT

We find an agreement of equivariant indices of semi-classical homomorphisms between pairwise mirror branes in the GL(2) Higgs moduli space on a Riemann surface. On one side we have the components of the Lagrangian brane of U(1,1) Higgs bundles whose mirror was proposed by Nigel Hitchin to be certain even exterior powers of the hyperholomorphic Dirac bundle on the SL(2) Higgs moduli space. The agreement arises from a mysterious functional equation. This gives strong computational evidence for Hitchin's proposal.

研究の動機と目的

• SL₂ ヒッグスモジュライ空間上におけるU(1,1)ブレーンとΛ^{2i}V 間のヒッチンの鏡映性対称性予想のグローバルな計算的検証を提供すること。
• ヒッチン写像の一般ファイバーを超えて、特異的であるニルポテンツコーンに対しても相対的フーリエ＝ムカイ双対性を拡張すること。
• ヴェルリンドの公式による等長的インデックス計算を用いて、半古典的極限における鏡映性対称性を検証すること。
• ブレーン間のホモーモーフィズムのインデックスを一致させることで、鏡像対応における曖昧さを解消すること。

提案手法

• GL₂ ヒッグスモジュライ空間上での等長的ヴェルリンドの公式を用いて、ブレーン間の半古典的ホモーモーフィズムの等長的インデックスを計算する。
• $\mathbb{T} = \mathbb{C}^\times$-作用をヒッグス場に適用し、$\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{M}; \mathcal{L}^k) = \sum_{j} (-1)^i \dim(H^i(\mathcal{M}, \mathcal{L}^k)^j) t^{-j}$ の形で等長的インデックスを定義する。
• 固定点部分多様体 $F'_i$ 上での局在化を用い、等長的K理論におけるチャーン類とトッド類を用いてインデックスを計算する。
• ラグランジュ的ブレーン $L_i \subset \mathcal{M}(\mathrm{GL}_2)$ 及びそれらの鏡像 $\Lambda^{2i}\mathbf{V}$（$\mathcal{M}(\mathrm{SL}_2)$ 上）の構造に依存する。ここで $\mathbf{V} = R^1\pi_*\mathbf{E}$ である。
• インデックス $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{M}; \mathcal{L}_i, \Lambda_j)$ と $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{M}; \Lambda_i, \mathcal{L}_j)$ の間の関数方程式を導出し、$\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i, \Lambda_j) = -t^{-1} \chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i \otimes \Lambda_j)$ を示す。
• 正規バンドルおよび行列式ラインバンドル上の $\mathbb{T}$-作用を追跡するために、標準バンドル構造と等長的チャーン類を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブレーン $L_i$ と $\Lambda_j$ 間のホモーモーフィズムの等長的インデックスが、それらの予想される鏡像 $\Lambda_i$ と $\mathcal{L}_j$ 間のインデックスと一致するか？
• RQ2 相対的フーリエ＝ムカイ双対性は、ヒッチン写像の一般ファイバーを超えて、特にニルポテンツコーンである特異ファイバーへまで拡張可能か？
• RQ3 GL₂ ヒッグス束におけるヒッチンの鏡映性対称性予想を支持する、等長的インデックスにおける関数方程式は存在するか？
• RQ4 $t^{-1}$ 要素と $t^{g-1}$ 矯正項の役割は何か？また、それらは標準バンドル構造とどのように関係しているか？
• RQ5 $\mathbb{T}$-作用の下で、$\mathcal{L}_i$ と $\Lambda_j$ の等長的インデックスはどのように変換するか？また、これにより鏡映性対称性にどのような含意があるか？

主な発見

• ブレーン $L_i$ と $\Lambda_j$ 間のホモーモーフィズムの等長的インデックスは、関数方程式 $\chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i, \Lambda_j) = -t^{-1} \chi_{\mathbb{T}}(\mathcal{L}_i \otimes \Lambda_j)$ を満たす。
• 局在化を用いた計算により、$L_i$ と $\Lambda_j$ 間のインデックスと $\Lambda_i$ と $\mathcal{L}_j$ 間のインデックスの一致が確認され、$\mathbb{T}$-作用に起因する $t^{-1}$ 矯正項が標準バンドル上に現れた。
• 計算により、$\mathcal{L}_i$ の鏡像は $\Lambda_i[-g]$ であり、$\Lambda_j$ の鏡像は $\mathcal{L}_j[-3g+3]$ であることが判明し、インデックス式のシフトと整合的である。
• $\mathcal{M}(\mathrm{SL}_2)$ 上の標準バンドル $K_{\mathcal{M}(\mathrm{SL}_2)}$ は重み $3g-3$ を持ち、$g$ が偶数のとき平方根を持たないため、インデックスに $t^{g-1}$ 要素が必要となる。
• すべての成分 $L_i$ と $\Lambda_j$ におけるインデックスの一致は、ヒッチンの鏡映性対称性予想に対する強力な計算的証拠を提供し、特に半古典的極限において顕著である。
• インデックス一致の背後にある関数方程式は、まだ完全に説明されていないが、その存在は、一般ファイバーを超えた双対性の有効性を支持する。