[論文レビュー] Model Predictive Control using MATLAB

Midhun T. Augustine|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2023

Advanced Control Systems OptimizationEngineering被引用数 3

ひとこと要約

このチュートリアルでは、MATLABを用いたModel Predictive Control (MPC)の包括的な紹介を提供し、数値的実装を通じてLinear MPC (LMPC)とNonlinear MPC (NMPC)の両方をカバーしています。最適化問題の定式化、制約処理、実行可能性、Lyapunov解析による安定性、最適性について詳述し、さまざまなシステムタイプにおける実装と検証を支援する実用的なMATLABコードを提供しています。

ABSTRACT

This tutorial consists of a brief introduction to the modern control approach called model predictive control (MPC) and its numerical implementation using MATLAB. We discuss the basic concepts and numerical implementation of the two major classes of MPC: Linear MPC (LMPC) and Nonlinear MPC (NMPC). This includes the various aspects of MPC such as formulating the optimization problem, constraints handling, feasibility, stability, and optimality.

研究の動機と目的

• 研究者および実務家を対象に、MATLABを用いたModel Predictive Control (MPC)に関する構造的チュートリアルを提供すること。
• 理論的MPC概念と実用的数値実装の橋渡しを図り、線形および非線形MPCに焦点を当てる。
• 制約、実行可能性、安定性、最適性の適切な取り扱いを伴うMPCアルゴリズムの実装をユーザーが可能にする。
• 学習と実験を支援するため、LMPCおよびNMPC用のアクセス可能なMATLABコード例を提供すること。
• 予測ホライズン、制御ホライズン、終端制約、重み行列を含む最適化問題の定式化をガイドすること。

提案手法

• システムモデルと現在の状態を用いて、有限ホライズンにおける将来の挙動を予測する再発行ホライズン最適化問題としてMPCを定式化する。
• 予測状態と制御入力を含むコスト関数を定義し、MATLABの数値ソルバを用いて最適化する。
• 凸最適化問題（QP, LP）と非凸最適化問題（NLP）を解くことで、Linear MPC (LMPC) および Nonlinear MPC (NMPC) を実装する。
• 実行可能性を、制御入力の実行可能シーケンスの集合 $\mathbb{U}_{fk}$ を用いて定義し、予測ホライズン全体で状態および制御制約を満たすことを保証する。
• 最適コスト関数 $J_k^*$ がリャプノフ関数として機能することを保証することで、リャプノフに基づく安定性解析を適用し、$\Delta V < 0$ を満たす。
• 安定性と収束性の向上を図るために、終端制約および重み行列 $\mathbf{Q}_N$, $\mathbf{F}_{\mathbf{x}_N}$, および $\mathbf{g}_{\mathbf{x}_N}$ を組み込む。

Figure 1: (a) MPC General block diagram (b) Basic MPC strategy.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MATLABを用いて、線形および非線形システムの両方に対してMPCをどのように数値的に実装できるか？
• RQ2 予測ホライズン、制御ホライズン、制約処理を含むMPC定式化の主な構成要素は何か？
• RQ3 MPCはリャプノフ解析を用いて、どのように再帰的実行可能性と安定性を確保するか？
• RQ4 終端制約および重み行列は、MPCの性能と収束性を向上させるために果たす役割は何か？
• RQ5 予測ホライズン $N$ の選択が、MPC制御則の部分最適性および性能にどのように影響するか？

主な発見

• 初期状態が実行可能集合 $\mathbb{X}_{f0}$ 内にある限り、MPC制御則は持続的実行可能であり、システムダイナミクスに従ってすべての将来の時間ステップで実行可能であることが保証される。
• 最適コスト関数 $J_k^*$ がリャプノフ関数として機能する場合、安定性が達成され、$\Delta V = J_{k+1}^*(\mathbf{x}_{k+1}) - J_k^*(\mathbf{x}_k) < 0$ を満たす。
• LTI系では、適切な終端重み行列 $\mathbf{Q}_N$ および終端制約を選択することで、値関数が有効なリャプノフ関数であることが保証される。
• 予測ホライズン $N$ が全時間ホライズン $N_T$ に近づくにつれて、MPC制御則は次第に最適に近づき、グローバル最適解に近づく。
• 終端制約 $\mathbf{F}_{\mathbf{x}_N}$ および終端コスト $\mathbf{Q}_N$ の使用は、LMPCおよびNMPCの両方において安定性と収束性を著しく向上させる。
• MATLABベースの実装により、MPC問題の効率的数値解法が可能となり、さまざまなシステムモデルにおけるLMPCおよびNMPC用のコード例が提供されている。

Figure 2: LMPC response (a) Stabilization (b) Set point tracking.