[論文レビュー] Module traces and Hopf group-coalgebras

Andres F. Fontalvo Orozco, Azat M. Gainutdinov|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モジュール自己函手を備えたピvォタル圏に対して、一般化されたモジュールトレースの概念を導入し、半単純かつユニモジュラーでない設定へも修正トレースの概念を拡張する。任意の有限次元ピvォタルホップ代数（ユニモジュラーでないものも含む）に対して、射影的テンソルアイデアル上に非退化なモジュールトレースが存在することを証明し、これによりホップ群コアルgebraへも拡張する。タフト代数や根の単位における非制限量子群に対する明示的計算も行う。

ABSTRACT

Let H be a finite-dimensional pivotal and unimodular Hopf algebra over a field k. It was shown in [BBGa] that the projective tensor ideal in H-mod admits a unique non-degenerate modified trace, a natural generalisation of the categorical trace. This paper provides an extension of this result to a much more general setting. We first extend the notion of the modified trace to the so-called module trace for a given k-linear module category M over a pivotal category C equipped with a module endofunctor. We provide a non-trivial class of examples of such module traces. In particular, we show that any finite-dimensional pivotal Hopf k-algebra, not necessarily unimodular, admits a non-degenerate module trace on its projective tensor ideal. We also extend this result to pivotal Hopf group-coalgebras of finite type, and we give explicit calculations for the family of Taft Hopf algebras and non-restricted Borel quantum groups at roots of unity.

研究の動機と目的

• 半単純かつユニモジュラーでない設定へも修正トレースの概念を一般化すること。
• モジュール自己函手を備えたピvォタル圏上のモジュールカテゴリの文脈で、モジュールトレースを定義し、その性質を研究すること。
• 任意の有限次元ピvォタルホップ代数に対して、射影的テンソルアイデアル上に非退化なモジュールトレースが存在することを確立すること。
• 有限型のホップ群コアルゲブラへ理論を拡張し、具体的な例を計算すること。
• 非半単純な設定において、これらの一般化されたトレースを用いて位相的不変量を構成するための枠組みを提供すること。

提案手法

• モジュール自己函手を備えたピvォタル圏上のモジュールカテゴリにおけるモジュールトレースの概念を導入する。
• モジュール函手によるトレースのプルバックを定義し、異なるモジュールカテゴリ構造を関連付ける。
• テンソルアイデアル上のトレース条件を簡略化するための還元補題を用いる。
• 一般化された積分とモジュール自己函手の作用を用いてモジュールトレースを構成する。
• ホップ群コアルゲブラへ応用する際、G-積分とα-対称化G-積分を導入する。
• ホップ代数の文脈における図式的計算と代数的恒等式を用いて、トレース公理（巡回性および部分トレース）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正トレースの構成は、ユニモジュラーかつ半単純な圏を超えて一般化可能か？
• RQ2 ユニモジュラーでない有限次元ピvォタルホップ代数の射影的テンソルアイデアル上に非退化なモジュールトレースが存在するか？
• RQ3 有限型のホップ群コアルゲブラへモジュールトレースの概念をどのように拡張できるか？
• RQ4 タフト代数や根の単位における非制限ボレル量子群のような具体的な例において、モジュールトレースの明示的公式は導けるか？
• RQ5 非半単純な設定において、モジュールトレースは双対性およびテンソル構造とどのように相互作用するか？

主な発見

• 任意の体上の有限次元ピvォタルホップ代数の射影的テンソルアイデアル上に非退化なモジュールトレースが存在する。ユニモジュラー性にかかわらず成立する。
• 本研究の構成は、[BBGa]における修正トレースを、非ユニモジュラーな代数を含むより広いクラスへ一般化する。
• タフトホップ代数の族に対して、モジュールトレースが明示的に計算され、非退化性が示されている。
• 根の単位における非制限ボレル量子群の場合は、α-対称化G-積分を用いてモジュールトレースが構成され、非退化な双対性が得られる。
• トレースは巡回性および部分トレースの公理を満たし、非半単純なTQFTにおける位相的不変量との整合性が保証される。
• H-pmod 上のモジュールトレースは、モジュール自己函手の作用と積分によって決定され、明示的な評価は t_V_s(R_z,x^s) = z^{1+n}/r で与えられる。