[論文レビュー] Moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections over generalized Kahler manifolds of symplectic type

Ryushi Goto|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化されたケーラー多様体のシンプレクティック型に対して、モーメント写像枠組みを用いてアインシュタイン・ヘルミート一般化接続を導入し、そのモジュライ空間がケーラー商として生じることを示している。変形複体は楕円型であり、モジュライ空間の滑らかな部分が有限次元ケーラー多様体であることを保証しており、曲率は $d$-閉じた純スピン形式 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ を通じて定義され、ケーラー–リッチソリトンとコ・ヒッグスバンドルが特別な場合として得られる。

ABSTRACT

From a view point of the moment map, we shall introduce the notion of Einstein-Hermitian generalized connections over a generalized Kähler manifold of symplectic type. We show that moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections arise as the Kähler quotients. The deformation complex of Einstein-Hermitian generalized connections is an elliptic complex and it turns out that the smooth part of the moduli space is a finite dimensional Kähler manifold. The canonical line bundle over a generalized Kähler manifold of symplectic type has the canonical generalized connection and its curvature coincides with "the scalar curvature as the moment map" which is defined in the previous paper [Goto_2016]. Kähler-Ricci solitons provide examples of Einstein-Hermitian generalized connections and Einstein Hermitian co-Higgs bundles are also discussed.

研究の動機と目的

• ケーラー幾何から一般化ケーラー幾何へのモーメント写像枠組みの拡張を、アインシュタイン・ヘルミート一般化接続の定義によって実現する。
• ユニタリゲージ群作用を用いて、そのような接続のモジュライ空間をケーラー商として構成する。
• モーメント写像解釈を可能にするために、$d$-閉で非退化で純なスピン形式 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ を用いて一般化接続の曲率を定義する。
• アインシュタイン・ヘルミート一般化接続の変形複体が楕円型であることを示し、これによりモジュライ空間が有限次元ケーラー多様体であることを示す。
• ケーラー–リッチソリトンとアインシュタイン–ヘリオのコ・ヒッグスバンドルが、この枠組みの特別な場合として得られることを特定する。

提案手法

• ベクトルバンドル $E$ 上の微分作用素 $\mathcal{D}^\mathcal{A} = D^A + V$ を一般化接続として定義し、$D^A$ を通常の接続、$V$ を $\text{End}(E)$-値のベクトル場とする。
• スピン表現を用いて、$\text{End}(E) \otimes \wedge^\bullet(TM \oplus T^*M)$ が $d$-閉純スピン形式 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ に作用する形で曲率 $\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi)$ を定義し、$\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi) = F_A \cdot \psi + d^{D_A}(V \cdot \psi) + \frac{1}{2}[V,V] \cdot \psi$ と与える。
• 一般化されたヘルミート接続のアフィン空間 $\widetilde{\mathcal{GM}}(E,h)$ に自然なケーラー構造を導入し、シンプレクティック形式を $\omega_{\widetilde{\mathcal{GM}}}(\dot{\mathcal{A}}_1, \dot{\mathcal{A}}_2) = -\int_M \text{tr} \langle \mathcal{J}_\psi \dot{\mathcal{A}}_1, \dot{\mathcal{A}}_2 \rangle_{T \oplus T^*} \text{vol}_M$ と定める。
• ユニタリゲージ群作用に対するモーメント写像 $\mu: \widetilde{\mathcal{GM}}(E,h) \to \mathfrak{u}(E)^*$ を定義し、アインシュタイン–ヘリオ条件がモーメント写像のゼロ点として同定されることを示す。
• $b$-場変換 $\text{Ad}_{e^{-b}}$ を用いて、$\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ 上の一般化接続を $e^{\sqrt{-1}\omega}$ 上のものに関連付け、$b$-場シフトにおけるアインシュタイン–ヘリオ条件の不変性を示す。
• アインシュタイン–ヘリオ条件を $\sqrt{-1}\Lambda_\omega F_A + \sum_i [V_i^{1,0}, (V_i^{1,0})^*] = \lambda \text{id}_E$ として導出し、一般化して $\sqrt{-1}\Lambda_\omega(F_A - d^A(\text{ad}_b V) + \frac{1}{2}[\text{ad}_b V, \text{ad}_b V]) + \sum_i [V_i^{1,0}, (V_i^{1,0})^*] = \lambda \text{id}_E$ と定める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー幾何におけるモーメント写像枠組みを、シンプレクティック型一般化ケーラー多様体にどのように一般化できるか？
• RQ2 モーメント写像解釈を支えるために、一般化接続の正しい曲率定義は何か？
• RQ3 アインシュタイン–ヘリオ一般化接続のモジュライ空間はどのようにケーラー商として生じるか？
• RQ4 $b$-場が一般化ケーラー構造間でアインシュタイン–ヘリオ条件を変換する役割は何か？
• RQ5 ケーラー–リッチソリトンとアインシュタイン–ヘリオコ・ヒッグスバンドルは、一般化接続枠組みからどのような条件下で出現するか？

主な発見

• アインシュタイン–ヘリオ一般化接続のモジュライ空間がケーラー商であることが示され、一般化されたヘルミート接続の空間からの自然なケーラー構造を引き継ぐ。
• アインシュタイン–ヘリオ一般化接続の変形複体は楕円型であり、モジュライ空間の滑らかな部分が有限次元ケーラー多様体であることを示唆する。
• 一般化接続の曲率は、$\text{End}(E) \otimes \wedge^\bullet(TM \oplus T^*M)$ のスピン表現が $d$-閉純スピン形式 $\psi = e^{b + \sqrt{-1}\omega}$ に作用する形で定義され、$\mathcal{F}_\mathcal{A}(\psi) = F_A \cdot \psi + d^{D_A}(V \cdot \psi) + \frac{1}{2}[V,V] \cdot \psi$ を得る。
• 正規一般化接続が canonical line bundle に誘導する曲率は、モーメント写像としてスカラー曲率に等しく、[Go5] の結果を一般化する。
• 通常のケーラー多様体上のケーラー–リッチソリトンは、$\psi = e^{\sqrt{-1}\omega}$ のとき、アインシュタイン–ヘリオ一般化接続の例であることが示される。
• $b = \omega$ の場合、一般化されたアインシュタイン–ヘリオ条件は $\text{End}(E)$-値のケーラー–リッチソリトン方程式に簡略化され、幾何的フローとの直接的な関係を確立する。