[論文レビュー] Moduli spaces of weighted stable curves and log canonical models of $\bar{M}_{g,n}$

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、重み付き安定曲線のハステットのモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ が、コンパクト化されたモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の対数 canonical モデルであることを証明している。著者は、普遍族上で線分束 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ のネフ性を初等的な議論により確立することで、任意の重みベクトル $\mathcal{A}$ に対して $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ の粗モジュライ空間が対数 canonical モデルであることを示し、 genus 0 の場合の問題を解決するとともに、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ のネフ錐に関する先行研究を拡張した。

ABSTRACT

Using Kollár's semipositivity results, we produce a number of nef and ample tautological divisors on Hassett's spaces of weighted stable pointed curves. As an application, we prove that Hassett's spaces are log canonical models of Deligne-Mumford spaces of stable pointed curves.

研究の動機と目的

• 任意の重みベクトル $\mathcal{A} \in (0,1]^n \cap \mathbb{Q}^n$ に対して、ハステットのモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ が $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の対数 canonical モデルであることを確立すること。
• 普遍族 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 上の線分束 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ のネフ性を示すこと。これは対数 canonical モデルを構成する上で極めて重要である。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ のネフ錐に関する先行研究を拡張し、GIT 錐に属するすべての除集合がネフ錐に含まれることを示す。また、二つの錐が一致するかどうかを検討すること。

提案手法

• コラールの半正則性結果を用いて $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ が $\pi$-ネフであることを示し、すべての genus に対して成り立つ初等的な議論により、全空間 $\mathcal{C}$ 上でのネフ性を証明する。
• 全空間 $\mathcal{C}$ の構造に関する場合分けの分析を、$g \geq 2$、$g = 1$、$g = 0$ に分けて行い、重み条件 $\sum a_i \leq 1$ のもとで重複するセクションを持つ場合の線分束のネフ性を検証する。
• 標準的除集合の性質と相対的最小性を用いて、ファイバーに含まれない既約曲線との交点数を分析することで、線分束 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ が $\mathcal{C}$ 上でネフであることを確立する。
• genus 0 の場合、タウトロジカル除集合クラスと GIT 極化の関係を用いて、対数 canonical 除集合を $\psi_i$、$\Delta_{ij}$、$\Delta_{\text{nodal}}$ の項で表し、$A(x_1,\dots,x_n) = -\frac{n-2}{2} \sum x_i \psi_i$ を得る。
• 主な正則性結果を適用して、$\overline{\mathcal{M}}_{0,6}$ 上で $2\Delta_{\text{nodal}} - \psi$ がネフであることを証明する。ブローモー・シーケンスとファイバー付き表面での交点論を用いる。
• 重み付き配置で複数の重み $1/2$ のセクションが重複する場合、それらを単一の重み 1 のセクションに置き換えることで、問題を低次元のケースに還元し、$\mathbb{P}^1$ 上での次数計算によりネフ性を最終的に確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハステットのモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ は、任意の重みベクトル $\mathcal{A}$ に対して $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の対数 canonical モデルであるか？
• RQ2 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ の GIT 錐に属するすべての除集合が、ネフ錐に含まれるか？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ のネフ錐と GIT 錐は一致するか？
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{0,6}$ 上で $2\Delta_{\text{nodal}} - \psi$ はネフか？
• RQ5 $\overline{\mathcal{M}}_{0,(1,1,1/2,1/2)}$ 上の普遍族において、対数 canonical 除集合 $\frac{2}{3}\psi + \frac{2}{3}\Delta_s - \Delta_{\text{nodal}}$ の次数は何か？

主な発見

• 任意の重みベクトル $\mathcal{A} \in (0,1]^n \cap \mathbb{Q}^n$ に対して、$\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ の粗モジュライ空間は $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の対数 canonical モデルである。これはハステット（2003）の問題 7.1 を解決する。
• 普遍族 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathcal{A}}$ 上の全空間 $\mathcal{C}$ において、線分束 $\omega_\pi + \sum a_i \sigma_i$ はネフである。初等的な議論により証明され、その際に次数がゼロとなる曲線も特定されている。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ の GIT 錐に属するすべての除集合は、ネフ錐に含まれる。これは命題 5.1 で示され、[2]、[5]、[14] の先行研究を拡張する。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,6}$ 上で $2\Delta_{\text{nodal}} - \psi$ はネフである。全空間の構造に関する場合分けの分析と交点論により確認された。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上での GIT 極化は、$n \geq 3$ のとき、$A(x_1,\dots,x_n) = -\frac{n-2}{2} \sum x_i \psi_i$ として、タウトロジカルクラスの言いかえとして得られる。
• $\overline{\mathcal{M}}_{0,(1,1,1/2,1/2)}$ 上の普遍族において、$\frac{2}{3}\psi + \frac{2}{3}\Delta_s - \Delta_{\text{nodal}}$ の次数はゼロである。これは、この場合におけるネフ性の確認を示している。