[論文レビュー] Moduli stacks of étale (phi,Gamma)-modules and the existence of crystalline lifts

Matthew Emerton, Toby Gee|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$p$-進的コンプリート環上のエタール$(\varphi,\Gamma)$-加群のモジュライスタックを構成し、その幾何的構造を確立するとともに、ガロア表現と関連付ける。主な貢献は、これらのスタックの幾何学的性質、特に既約成分と変形環の研究を通じて、標数 $p$ のガロア表現に対するクリスタリン上昇の存在を示すことにある。

ABSTRACT

We construct stacks which algebraize Mazur's formal deformation rings of local Galois representations. More precisely, we construct Noetherian formal algebraic stacks over Spf Zp which parameterize étale (phi,Gamma)-modules; the formal completions of these stacks at points in their special fibres recover the universal deformation rings of local Galois representations. We use these stacks to show that all mod p representations of the absolute Galois group of a p-adic local field lift to characteristic zero, and indeed admit crystalline lifts. We also discuss the relationship between the geometry of our stacks and the Breuil-Mézard conjecture.

研究の動機と目的

• $p$-進的コンプリート環を係数とするエタール$(\varphi,\Gamma)$-加群のモジュライスタックを構成し、ガロア変形理論のグローバルな幾何的枠組みを提供すること。
• これらのスタックが、古典的変形理論の局所的無限小データを越えたグローバルな幾何的性質を捉えていることを確立すること。
• モジュライスタック$\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$の幾何学的性質を分析することにより、標数 $p$ のガロア表現に対するクリスタリン上昇の存在を証明すること。
• これらのスタックの幾何学を、セール予想の重み部と幾何的ブリュア・メザール予想と関連付けること。
• モジュライスタック$\mathcal{X}_d$がInd代数的スタックであること、およびその削減化ファイバーがクリスタリン型と半単純型による層化を持つことを示すこと。

提案手法

• $p$-進的コンプリート$\mathbf{Z}_p$-代数$A$を係数とするランク$d$の射影的エタール$(\varphi,\Gamma)$-加群をパラメトライズする、$\mathrm{Spf}\,\mathbf{Z}_p$上にファイブレートされた群コホーモロジーのカテゴリとしてモジュライスタック$\mathcal{X}_d$を構成する。
• ブリュア・キシン・ファルグス加群の理論と$G_K$作用の正規拡張を用いて、$(\varphi,\Gamma)$-加群を潜在的に半単純なガロア表現と関連付ける。
• ヘール複体とコホモロジー的道具を用いて、拡張の族を研究し、変形空間の次元を計算する。
• ほとんどガロア降下とフロベニウス降下の技法を用いて、$\varphi$-加群とその係数の構造を分析する。
• 指定されたホッジ＝テイン重み$\underline{\lambda}$を持つクリスタリン$(\varphi,\Gamma)$-加群をパラメトライズするスタック$\mathcal{X}_{d}^{\mathrm{crys},\underline{\lambda}}$を導入する。
• クリスタリン変形環上の$H^2$のファイバー次元を分析し、クリスタリン上昇の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的変形環よりも多くの幾何的情報を捉えるグローバルなエタール$(\varphi,\Gamma)$-加群のモジュライスタックを構成できるか？
• RQ2 モジュライスタック$\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$内において、既約ガロア表現が可約なものの極限として現れるか？
• RQ3 標数 $p$ のガロア表現がいつクリスタリン上昇をもつのか、その条件はモジュライスタックの幾何学的性質にどのように反映されるか？
• RQ4 ガロア表現のインertial型とホッジ型は、関連する$(\varphi,\Gamma)$-加群およびそのモジュライスタックの構造にどのように符号化されるか？
• RQ5 幾何的ブリュア・メザール予想と、モジュライスタックの文脈におけるクリスタリン上昇の存在の関係は何か？

主な発見

• エタール$(\varphi,\Gamma)$-加群のモジュライスタック$\mathcal{X}_d$は、$\mathrm{Spf}\,\mathbf{Z}_p$上に存在するInd代数的スタックであり、ガロア表現のグローバルな幾何的枠組みを提供する。
• 削減化ファイバー$\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$の既約成分は、潜在的に半単純なタイプに対応し、その幾何学的性質はクリスタリン上昇の存在を反映している。
• 任意の標数 $p$ のガロア表現$\overline{\rho}$に対して、ホッジ＝テイン重みに関する適切な条件下で、$\mathcal{X}_{d,\mathrm{red}}$はクリスタリン上昇をパラメトライズする非空な開部分スタックを含む。
• クリスタリン変形環上の$H^2$のファイバー次元は有界であり、この有界性から、潜在的に対角化可能なクリスタリン上昇の存在が導かれる。
• ガロア表現$V(M)$のインertial型とホッジ型は、それぞれ関連する$(\varphi,\Gamma)$-加群$M$を介して、$I_{L/K}$作用と$D_K$上のフィルトレーションによって決定される。
• $\mathcal{X}_{d}^{\mathrm{crys},\underline{\lambda}}$スタックは、ホッジ＝テイン重み$\underline{\lambda}$を持つクリスタリン表現の期待されるモジュライ空間の幾何的実現を提供し、キシンの予想を実現する。