[論文レビュー] Monads on higher monoidal categories

Marcelo Aguiar, Mariana Haim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複数の互換性のあるモノイダル構造を持つ高次モノイダル圏におけるモノイドを導入し、研究する。このモノイドの代数の圏が高次モノイダル構造を引き継ぐための十分条件を提供する。主な貢献は定理8.1であり、モノイドが高次モノイダル構造と整合する（多線形性および整合性条件を介して）場合、その代数の圏はn-モノイダル圏となることが示されている。これは、モノイダルおよびコモノイダルモノイドに関する既知の結果を一般化するものである。

ABSTRACT

We study the action of monads on categories equipped with several monoidal structures. We identify the structure and conditions that guarantee that the higher monoidal structure is inherited by the category of algebras over the monad. Monoidal monads and comonoidal monads appear as the base cases in this hierarchy. Monads acting on duoidal categories constitute the next case. We cover the general case of $n$-monoidal categories and discuss several naturally occurring examples in which $n\leq 3$.

研究の動機と目的

• 複数の相互作用可能なモノイダル構造を持つ圏におけるモノイダルおよびコモノイダルモノイドの理論を、高次モノイダル圏へ一般化すること。
• モノイドの代数の圏が高次モノイダル構造を引き継ぐための構造的条件を同定すること。
• duoidalおよびn-モノイダル圏におけるモノイドの既存の結果を統合・拡張すること。
• 高次モノイダル設定における多線形性と整合性を理解するための体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• n-モノイダル圏における高次モノイダルモノイドの概念を導入し、モノイダルおよびコモノイダルモノイドを一般化する。
• 多線形性の概念を用いて、モノイドと複数のモノイダル構造との間の整合性を定義する。
• 表現可能マルチカテゴリおよびコラクモノイダル構造の理論を用いて、代数上のモノイダル構造を構成する。
• リントン型の反射的余等化を用いて、代数の圏におけるテンソル積を定義する。
• ポイント付きモノイドとスモーズ積の構成を、高次モノイダル構造を誘導するモノイドの重要な例として分析する。
• 種の理論と種の圏上の双モノイダルコモノイドを用いて、理論を具体化する例を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-モノイダル圏上のモノイドが、その代数の圏に整合性のあるn-モノイダル構造を誘導する条件は何か？
• RQ2 モノイダル、コモノイダル、および混合型のモノイドは、高次モノイダル圏における複数のモノイダル構造とどのように作用し合うか？
• RQ3 多線形性は、モノイドと高次モノイダル構造との間の整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 二点付き対象のスモーズ積は、モノイダル圏上のモノイドを介して体系的に構成可能か？
• RQ5 種の圏上の双モノイダルコモノイドが、余モジュールの圏にduoidal構造を誘導するための条件は何か？

主な発見

• 定理8.1は、n-モノイダル圏上のモノイドが適切な多線形性および整合性条件を満たす場合、その代数の圏が高次モノイダル構造を引き継ぐことを確立している。
• モノイダルモノイドの代数の圏は、マルチカテゴリ構造とコラクモノイダル構造を備えていることが、定理3.14で示されている。
• ポイント付きモノイドの構成により、二点付き対象のスモーズ積が得られ、高次モノイダル構造を誘導するモノイドの具体例が得られる。
• 集合論的双モノイドBに対して、それに付随するコモノイドが、B-種の圏にduoidal構造を誘導し、二つのテンソル積に対して明示的な式が得られる。
• ベクトル種の場合は、集合論的双モノイドの線形化により、3-モノイダル圏における(2,1)-モノイドが得られ、双モノイダルコモノイドと余モジュールの圏におけるduoidal構造が導かれる。
• 元の種が空集合にのみ非ゼロである場合を除き、コモノイダル構造に関して完全な線形性が成り立たないことが判明し、これが完全な線形性の阻害要因であることが浮き彫りになった。