[論文レビュー] More About Donsker's Delta Function

Angelika Lascheck, Peter Leukert+2 more|ArXiv.org|Mar 4, 2003

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 17被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、ホワイトノイズ解析における複素数パラメータへのドンスカーのデルタ関数の拡張を提示し、フェインマン経路積分および円上での量子系に対する厳密な取り扱いを可能にする。S変換を用いてデルタ関数の級数の収束を確立し、スムージングされた波パッケージが well-defined なヒーダ分布をもたらすことを証明し、巻き数寄与を伴う量子力学的経路積分における発散級数の問題を解決する。

ABSTRACT

We discuss Donsker's delta function within the framework of White Noise Analysis, in particular its extension to complex arguments. With a view towards applications to quantum physics we also study sums and products of Donsker's delta functions.

研究の動機と目的

• ホワイトノイズ解析の枠組み内で、ドンスカーのデルタ関数を複素数引数へと拡張すること。
• 特に複数の巻き数を持つ系に対して、フェインマン経路積分における無限級数のデルタ関数の収束問題に対処すること。
• ヒーダ分布を用いた、円上を運動する量子粒子の伝播関数の厳密な数学的定式化を提供すること。
• フーリエ係数の和分可能性条件を課すことにより、波パッケージ状態のS変換の収束を保証すること。
• T変換を用いてゼロにおける評価を行い、結果として得られる経路積分がシュレーディンガー方程式を満たすことを示すこと。

提案手法

• Re(a²) > 0 の領域における解析接続を用いて、ドンスカーのデルタ関数を複素数パラメータへと拡張する。
• 一般化関数を特徴付けるためにS変換を適用し、ガウス核を含む明示的な積分表現を導出する。
• S-transformの関係式 SΦ(ξ) = C(ξ)TΦ(−iξ) を用いて、複素数テスト関数へと変換を拡張する。
• 円上でのスムージングを施したディラックのデルタ関数を用いて、巻き数ごとの和として伝播関数を構成する。
• S変換級数の収束を保証するために、フーリエ係数に ∑|aₗ|exp(½s²l²) < ∞ の和分可能性条件を課す。
• 伝播関数のT変換を評価し、TI(0) = ∑aₗexp(−½il²t + ilφ₀) がシュレーディンガー方程式の解を与えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドンスカーのデルタ関数は、ホワイトノイズ解析において複素数パラメータへと厳密に拡張可能か？
• RQ2 ドンスカーのデルタ関数の積および無限級数は、数学的にどのように定義され、取り扱えるか？
• RQ3 巻き数を含む経路積分表現におけるS変換の収束を保証する条件は何か？
• RQ4 ヒーダ分布および一般化関数的汎関数を用いて、円上を運動する量子粒子を一貫して記述可能か？
• RQ5 得られる経路積分定式化は、シュレーディンガー方程式の解を与えるか？

主な発見

• ドンスカーのデルタ関数は、Re(a²) > 0 の領域において、解析的拡張が可能であり、ヒーダ分布である。
• L(t,a) = ∫₀ᵗ δ(B(s)−a)ds のS変換は、∫₀ᵗ (1/√(2πs)) exp(−½s⁻¹(∫₀ˢ ξ(τ)dτ − a)²)ds で与えられる。
• ∑|aₗ|exp(½s²l²) < ∞ を満たす ∑ₗ aₗ exp(ilφ) は、ホワイトノイズ空間における緩やかな分布を定義する。
• 伝播関数のT変換は、exp(½(1 + t/s²)|ξ|₀²) で有界であり、収束性および (S)* への属性を保証する。
• フェインマン積分 TI(0) = ∑ₗ aₗ exp(−½il²t + ilφ₀) は、円上粒子のシュレーディンガー方程式の解である。
• δ関数を用いた形式的経路積分は発散するが、和分可能な係数を持つ波パッケージ状態を用いることで収束が回復する。