[論文レビュー] Multi-dimensional Virasoro algebra and quantum gravity

T. A. Larsson|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、N次元一般相対性理論などの背景独立な理論のネネーション対称性代数として現れる、ベクトル場代数 𝔟vect(N) の非中心拡張として、Virasoro代数の多次元一般化である Vir(N) を提案する。Fock表現における量子重力は、ボソンとフェルミオンが両方存在する場合に限り4次元時空においてのみ実現可能であり、量子荷の発散をキャンセルするためには正確な2:3のフェルミオン対ボソン比が必要であることが示され、時空次元と標準模型の場の内容との間に深い関係があることを示唆している。

ABSTRACT

I review the multi-dimensional generalizations of the Virasoro algebra, i.e. the non-central Lie algebra extensions of the algebra vect(N) of general vector fields in N dimensions, and its Fock representations. Being the Noether symmetry of background independent theories such as N-dimensional general relativity, this algebra is expected to be relevant to the quantization of gravity. To this end, more complicated modules which depend on dynamics in the form of Euler-Lagrange equations are described. These modules can apparently only be interpreted as quantum fields if spacetime has four dimensions and both bosons and fermions are present.

研究の動機と目的

• 背景独立な量子重力に関連する、N次元のベクトル場代数 𝔟vect(N) の拡張として、Virasoro代数をN次元に一般化すること。
• Euler＝ラグランジュ方程式を用いて力学を組み込んだ、この拡張代数のFock表現を構成すること。
• ジャット順序 p → ∞ の極限において、これらの表現における量子荷が有限のままである条件を特定すること。
• Vir(N) 加群の量子場理論的解釈が可能となる時空次元および場の内容（ボソンおよびフェルミオン）を同定すること。
• 観測された4次元時空および標準模型の場の内容が、量子重力の枠組みにおける代数的整合性条件から自然に導かれるかどうかを検討すること。

提案手法

• N次元のベクトル場代数の非中心拡張を構成し、2つのアーベル的だが非中心的な生成子 S^μ(m) および L_μ(m) を導入し、構造定数にパラメータ c₁ と c₂ を含める。
• N-トーラス上のフーリエ基底を用いて、生成子 L_μ(m) および S^μ(m) を定義し、N=1 のとき標準Virasoro代数に一般化される交換関係を導出する。
• Fock表現は、場をp-ジャット（有限次元テイラー展開）に置き換えることで構築され、量子理論は極限 p → ∞ において解析される。
• この極限におけるアーベル的荷（中心的荷の類似）の有限性を解析し、場の内容の制約によって主要な発散をキャンセルする必要がある。
• 運動方程式として、ボソンに対しては2次、フェルミオンに対しては1次を仮定し、ネネーション恒等式は1階高い次数を持つものとする。
• 自由度の数え上げ（反粒子および世代を含む）を用いて場の内容を比較し、2:3のフェルミオン対ボソン比の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限ジャット順序の極限において、多次元Virasoro代数 Vir(N) が有限で物理的に解釈可能なFock表現を許容する条件は何か？
• RQ2 なぜVir(N)表現の量子場理論的解釈は4次元時空に限られるのか？
• RQ3 Vir(N)代数のアーベル的荷の発散をキャンセルするために必要な場の内容（ボソンおよびフェルミオンの数）は何か？
• RQ4 観測された4次元時空および標準模型の1世代あたり15のフェルミオンが、量子重力フレームワークにおける代数的整合性条件から自然に導かれるか？
• RQ5 ボソンとフェルミオンが両方存在し、2:3の比を満たすことが、Vir(N)に基づく一貫した量子重力理論の必要条件であるか？

主な発見

• 多次元Virasoro代数 Vir(N) は、N=1 のとき標準Virasoro代数に還元される、2つの非同型なアーベル的で非中心的な拡張を許容する。
• Vir(N) のFock表現はジャット順序 p が有限でなければならないが、p→∞ の極限では、場の内容を慎重に選ばない限り、アーベル的荷が発散する。
• 量子荷の発散は、時空が4次元であり、フェルミオンの総自由度 x_F とボソンの総自由度 x_B が 2x_F = 3x_B を満たす場合にのみキャンセル可能である。
• 重力と結合した標準模型では、この2:3の比が満たされている：フェルミオン90個（3世代、1世代15個）、ボソン60個（3×20）であり、2×90 = 3×60 が成立する。
• スプライアス自由度を含む場の再定義においても、代数的Euler＝ラグランジュ方程式が満たされる限り、理論の整合性は保たれる。
• 結果から、観測された4次元時空および標準模型の場の内容が偶然ではなく、Vir(N)に基づく一貫した量子重力理論において代数的に必須である可能性が示唆される。