[論文レビュー] Multifractality of jump diffusion processes

Xiaochuan Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴うストキャスティック・ディファレンシャル方程式（SDE）に従う、広範な1次元ジャンプ拡散過程の多分形性を調査し、Lévy過程や純ジャンプマコフ過程に関する先行研究を拡張する。局所的正則性を分析するための新規なスライシング論法を導入し、多分形スペクトルが時間的に非一様な複雑な極値挙動を示すことを確立する。応用例として、Bass型安定的類似過程および非退化した安定駆動SDEが含まれる。

ABSTRACT

We study the local regularity and multifractal nature of the sample paths of jump diffusion processes, which are solutions to a class of stochastic differential equations with jumps. This article extends the recent work of Barral {\it et al.} who constructed a pure jump monotone Markov process with random multifractal spectrum. The class of processes studied here is much larger and exhibits novel features on the extreme values of the spectrum. This class includes Bass' stable-like processes and non-degenerate stable-driven SDEs.

研究の動機と目的

• SDEにジャンプを含む一般クラスのジャンプ拡散過程への多分形性の理解を、Lévy過程に限らない範囲へ拡張すること。
• この広いクラスのマコフ過程における標本パスの局所的正則性および点ごとのホルダー指数を分析すること。
• 多分形スペクトル、特にその極値が、先行研究で観察された一様スペクトルとはどのように異なるかを調査すること。
• 標本パスの単調性に依存しない新しいスライシング論法を構築し、非増加的ジャンプ拡散過程の解析を可能にすること。
• 局所時間およびLévy型成分の収束結果を確立し、原点近傍でのジャンプ成分の漸近的自己相似性を示すこと。

提案手法

• 標本パスの局所的正則性を特徴付けるために、点ごとのホルダー指数分析を用いる。
• 単調性に依存しない経路増分の推定を可能にするため、スライシング論法を考案する。
• 伊藤の公式およびバーグホルダー＝デイビス＝ガンディーの不等式を用いて、過程とその局所的Lévy近似との差のモーメントを制御する。
• 安定Lévy過程の自己相似性と確率的収束を活用し、ジャンプ成分の局所的挙動が安定過程に収束することを示す。
• ホルダー正則性の等高線集合のサイズを測るため、ハウスドルフ次元を用い、多分形スペクトルを $ D_f(h) = \dim_{\mathcal{H}} E_f(h) $ として定義する。
• 補正付きポアソン測度および $ \beta(0)|z|^{-\beta(0)-1} \mathbf{1}_{|z|\leq 1} \, dz $ の形をしたLévy測度といった、確率解析の理論的道具を用いてジャンプダイナミクスをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のジャンプ拡散過程の多分形スペクトルは、Lévy過程のそれとどのように異なり、特にスペクトルの一様性の観点でどう異なるか？
• RQ2 非単調的かつ非退化したジャンプ拡散過程における多分形スペクトルの極値の挙動はいかなるものか？
• RQ3 標本パスの単調性を仮定しないで、経路増分を推定できるスライシング論法を構築できるか？
• RQ4 原点近傍におけるジャンプ成分の局所的挙動が、分布収束の観点でどの程度安定Lévy過程に近づくか？
• RQ5 指数が (0,2) に属するBass型安定的類似過程の正則性構造は、多分形スペクトルにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 検討されたジャンプ拡散過程の多分形スペクトルは一様ではなく、極値において複雑な挙動を示し、単調過程に関する先行研究とは顕著に異なる。
• スライシング論法により、単調性を仮定しない非単調なジャンプ拡散過程の解析が可能となり、経路増分のモーメント推定が可能である。
• 時間スケーリング $ \alpha^{-1/\beta(0)} \mathcal{L}_{\alpha t} $ の下で、局所的Lévy成分 $ \mathcal{L}_t $ は $ \beta(0) $-安定過程に法則収束し、極限で自己相似性が成立する。
• 同じスケーリングの下で、差 $ \Delta_\alpha = \sup_{t \leq \alpha} |M_t - \mathcal{L}_t| $ は確率的に消えることから、全過程が安定近似に収束することが確認される。
• 多分形スペクトル $ D_f(h) $ は過程の局所的挙動に依存し、開集合 $ A $ ごとに $ D_f(A,h) $ が変化することから、非一様な多分形構造が示された。
• 結果は、指数が (0,2) に属するBass型安定的類似過程および非退化した安定駆動SDEに適用可能であり、以前の研究が (0,1)-指数過程に限定されていた範囲を広げた。