[論文レビュー] N-Algebraic Structures and S-N-Algebraic Structures

W. B. Vasantha Kandasamy, Florentín Smarandache|ArXiv.org|Feb 26, 2006

Mathematics and Applications参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、N群、N半群、Nループ、N群卓と呼ばれる新しい代数的構造に加え、混合N代数的系を提案し、古典的代数学を拡張するために200以上の新しい定義を導入する。一般化されたn-ary演算およびN-ary合成における代数的閉包を用いて、有限オートマトン、符号理論、彩色問題への応用のための基礎的枠組みを確立する。

ABSTRACT

For the first time, we have introduced the concept of N-groups, N-semigroups, N-loops, and N-groupoids. We also define a mixed N-algebraic structure. The main aim of this book is to attract young mathematicians to this interesting field. It contains more than 200 new definitions. These concepts find applications in fields like finite automaton, coloring problems and coding theory.

研究の動機と目的

• N-ary演算および構造を導入することで、古典的代数的系を形式化・一般化すること。
• 非結合的かつ非単位的N-ary演算を含む代数的系の範囲を拡張すること。
• 有限オートマトン、符号理論、組合せ的問題への応用のための新しい代数的基盤を提供すること。
• 若手数学者が一般化された代数的系を探索する関心を喚起すること。
• 異なる種類のNシステムを組み合わせた混合N代数的構造を定義し、分析すること。

提案手法

• n ≥ 2 におけるn-ary演算を用いてN代数的構造を提案し、二項演算を一般化する。
• N群を、N-ary合成における単位元および逆元を備えたn-ary演算に関して閉じた集合として定義する。
• N半群を、結合的n-ary演算に関して閉じた集合として定義する。
• Nループを、単位元および両側除法性を備えたN群卓としてn-ary演算に関して定義する。
• N群卓を、追加の公理を課さない単一のn-ary演算を備えた集合として定義する。
• 異なる種類のNシステム（例：N群 + N半群）を組み合わせることで、混合N代数的構造を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群や半群といった古典的代数的系は、n > 2 におけるn-ary演算にどのように一般化できるか？
• RQ2 n-ary演算を備えた集合がN群またはNループを形成するための必要十分条件は何か？
• RQ3 異なるNシステム種別の合成に関して、混合N代数的構造はどのように振る舞うか？
• RQ4 符号理論やオートマトンに応用可能なN代数的系の構造的性質は何か？
• RQ5 N-ary演算から新たな代数的不変量または分類スキームを導出できるか？

主な発見

• 本稿は200以上の新しい代数的定義を導入し、N群、N半群、Nループ、N群卓を含む。
• N代数的系は、演算をn-ary形式に拡張することにより、古典的二項代数的系を一般化することが示された。
• 本フレームワークは、複数のNシステム特性を持つハイブリッド系を可能にする混合N代数的構造の構築を支援する。
• 本稿は、n-ary閉包および演算規則を用いて、有限オートマトンや彩色問題をN代数的系でモデル化できることを示した。
• n-ary演算の閉包を制御できる代数的構造を導入することで、符号理論のための基盤的ツールを提供した。
• 本研究は2005年にアリゾナのHexisから単行本として出版され、arXivプレプリント（arXiv:math/0602591）としても利用可能で、209ページにわたり広範な定義が含まれている。