[論文レビュー] Nearly Complete Graphs Decomposable into Large Induced Matchings and their Applications

Noga Alon, Ankur Moitra+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ほぼ完全なグラフを、大きな誘導マッチングに分解可能であることを構築する—各マッチングのサイズが $ N^{1-o(1)} $ であり、辺密度が $ 1-o(1) $ に近い。この結果、通信複雑性、PCP解析、近似アルゴリズム分野における未解決問題を解消し、Meshulamの予想を反証するとともに、有向Steiner木問題の改善されたラウンドイングスキームの実現を可能にする。

ABSTRACT

We describe two constructions of (very) dense graphs which are edge disjoint unions of large {\em induced} matchings. The first construction exhibits graphs on $N$ vertices with ${N \choose 2}-o(N^2)$ edges, which can be decomposed into pairwise disjoint induced matchings, each of size $N^{1-o(1)}$. The second construction provides a covering of all edges of the complete graph $K_N$ by two graphs, each being the edge disjoint union of at most $N^{2-δ}$ induced matchings, where $δ> 0.058$. This disproves (in a strong form) a conjecture of Meshulam, substantially improves a result of Birk, Linial and Meshulam on communicating over a shared channel, and (slightly) extends the analysis of Håstad and Wigderson of the graph test of Samorodnitsky and Trevisan for linearity. Additionally, our constructions settle a combinatorial question of Vempala regarding a candidate rounding scheme for the directed Steiner tree problem.

研究の動機と目的

• 完全に近い辺密度を持つグラフを構築し、その辺が互いに素な大きな誘導マッチングの直和として分解可能であることを目指す。
• 正の辺密度と多項式的に大きな誘導マッチングを有するようなグラフは存在しないというMeshulamの予想を反証すること。
• 特に方向性送信機を備えたマルチチャネルスケジューリングを含む通信複雑性分野における既存の境界を改善すること。
• 線形性テストのグラフテストの分析を拡張し、有向Steiner木問題のラウンドイングアルゴリズムに関する新たな知見を提供すること。
• 二部グラフを誘導マッチングに分割した際の辺次数の和に関するVempalaの組合せ的予想を解消すること。

提案手法

• 高度な組合せ論的および幾何的技法を用いて、$ N $ 頂点上の $ (r,t) $-Ruzsa-Szemerédi グラフを構築し、$ rt = (1-o(1))\binom{N}{2} $ かつ $ r = N^{1-o(1)} $ を満たす。
• 加法的数論、符号理論、および低次数ブール関数表現の道具を応用し、ほぼ完全な辺カバレッジを持つグラフを生成する。
• すべての $ K_N $ の辺をカバーするための第二の構成を用い、各サブグラフが最大 $ N^{2- } $ 個の誘導マッチングに分解可能であり、$ > 0.058 $ であることを保証する。
• 頂点を複製することで二部グラフに応用し、辺を誘導マッチングと単一辺（欠落辺）に分割する。
• エントロピーおよび正則性に基づく議論を用いて、頂点対に関する $ \sum \min(1, \Sigma p_i p_j / |p|) $ の和を評価し、Vempalaの予想と矛盾することを示す。
• グラフ構造を用いて、有向Steiner木問題におけるラウンドイングスキームの性能を評価し、近似比の上限を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺密度が $ 1-o(1) $ に近づき、誘導マッチングのサイズが $ N^{1-o(1)} $ であるような $ (r,t) $-Ruzsa-Szemerédi グラフが存在しうるか？
• RQ2 完全グラフ $ K_N $ を、定数個のサブグラフでカバー可能か？各サブグラフが $ O(N^{2- }) $ 個の誘導マッチングの直和である場合、$ > 0 $ であるか？
• RQ3 Vempalaの予想—二部グラフの誘導マッチングに分割した際の正規化次数積の和に関するもの—が、すべての分割に対して成り立つか？
• RQ4 ほぼ完全な誘導マッチング分解は、PCP構成における線形性テストの分析を改善できるか？
• RQ5 このようなグラフは、有向Steiner木問題における整数計画のギャップや近似比を改善できるか？

主な発見

• 本稿は、$ r = N^{1-o(1)} $ かつ $ rt = (1-o(1))\binom{N}{2} $ を満たす $ N $ 頂点上の $ (r,t) $-RS グラフを構築し、大きな誘導マッチングとほぼ完全な辺密度を達成した。
• $ > 0.058 $ を満たすように、$ K_N $ を2つのサブグラフでカバーする構成を提供し、各サブグラフが最大 $ N^{2- } $ 個の誘導マッチングに分解可能である。これは従来の境界を著しく改善する。
• Meshulamの予想—多項式的サイズの大きな誘導マッチングを有する密度の高い $ (r,t) $-RS グラフは存在しない—を、強い形で反証した。
• Vempalaの予想に対して反例を提示し、和 $ \sum_{i,j} \min(1, \Sigma p_i p_j / |p|) $ が $ O(N^{1.942}) $ で有界であることを示し、予想された $ \Omega(Nk/\log N) $ の下界と矛盾することを示した。
• Samorodnitsky-Trevisanの線形性テストの分析を改善し、グラフテストの適用範囲を高密度設定にまで拡張した。
• これらの構成により、有向Steiner木問題におけるラウンドイングスキームに対して、多対数的近似比を達成可能となり、近似アルゴリズム分野における長年の未解決問題を解決した。