[論文レビュー] Nearly Maximum Flows in Nearly Linear Time

Jonah Sherman|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$α$-混雑度近似関数（エッジの混雑度を要因$α$で近似する関数）を用いて、無向グラフにおける$(1+\varepsilon)$-最適な単一需要最大フローをほぼ線形時間で計算するアルゴリズムを提示する。現在の混雑度と過剰に見積もられた残余需要コストのバランスを取るポテンシャル関数を最小化することで、$Ϫ{O}(m\varepsilon^{-2})$の時間計算量を達成し、この問題に対して最も高速な既知のアルゴリズムを実現する。

ABSTRACT

We introduce a new approach to the maximum flow problem in undirected, capacitated graphs using $α$-\emph{congestion-approximators}: easy-to-compute functions that approximate the congestion required to route single-commodity demands in a graph to within a factor of $α$. Our algorithm maintains an arbitrary flow that may have some residual excess and deficits, while taking steps to minimize a potential function measuring the congestion of the current flow plus an over-estimate of the congestion required to route the residual demand. Since the residual term over-estimates, the descent process gradually moves the contribution to our potential function from the residual term to the congestion term, eventually achieving a flow routing the desired demands with nearly minimal congestion after $ ilde{O}(α\eps^{-2}\log^2 n)$ iterations. Our approach is similar in spirit to that used by Spielman and Teng (STOC 2004) for solving Laplacian systems, and we summarize our approach as trying to do for $\ell_\infty$-flows what they do for $\ell_2$-flows. Together with a nearly linear time construction of a $n^{o(1)}$-congestion-approximator, we obtain $1+\eps$-optimal single-commodity flows undirected graphs in time $m^{1+o(1)}\eps^{-2}$, yielding the fastest known algorithm for that problem. Our requirements of a congestion-approximator are quite low, suggesting even faster and simpler algorithms for certain classes of graphs. For example, an $α$-competitive oblivious routing tree meets our definition, \emph{even without knowing how to route the tree back in the graph}. For graphs of conductance $ϕ$, a trivial $ϕ^{-1}$-congestion-approximator gives an extremely simple algorithm for finding $1+\eps$-optimal-flows in time $ ilde{O}(mϕ^{-1})$.

研究の動機と目的

• 無向容量付きグラフにおける$(1+\varepsilon)$-最適な単一需要最大フローを計算するより高速なアルゴリズムの開発を目的とする。
• ブラックボックス型ラプラシアンソルバに依存する従来手法の制限を克服し、混雑度最小化の構造を直接活用することを目的とする。
• $\alpha$-混雑度近似関数を用いて、正確なルーティングなしで残余フローのコストを推定するためのツールとして導入・利用することを目的とする。
• ポテンシャル関数の降下と効率的な木ベースのフローおよびポテンシャル計算を組み合わせることで、ほぼ線形時間計算量を達成することを目的とする。

提案手法

• アルゴリズムは、残余の不足を伴うフローを維持し、現在の混雑度と残余をルーティングする過剰な見積もりコストを組み合わせたポテンシャル関数を用いる。
• このポテンシャル関数を繰り返し最小化することで、過剰見積もりのおかげで残余の修正が最終的に処理されることを保証する。
• 木構造に基づく再帰的フレームワークを用い、フォレスト分解とコア頂点木を活用して、フローとポテンシャル値を効率的に計算する。
• RとR^\topは、木構造上の再帰的手続きにより計算され、Rは需要をエッジの混雑度にマッピングし、R^\topは双対ポテンシャルを計算する。
• ほぼ線形時間で$n^{o(1)}$-混雑度近似関数を構築することに依存しており、これにより近似的最適なフロー計算が可能になる。
• 主なプリミティブには$\mathtt{TreeFlow}$、$\mathtt{TreePotential}$、および階層的フォレスト・ツリー分解における再帰的$\mathtt{ComputeR}$および$\mathtt{ComputeR^\top}$手続きが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックボックス型ラプラシアンソルバに依存しないことで、無向グラフにおける$(1+\varepsilon)$-最適な単一需要フローに対してほぼ線形時間のアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 計算が容易で、混雑度を$\alpha$-近似する混雑度近似関数を用いて、収束が保証されるフロー最適化をガイドできるか？
• RQ3 現在の混雑度と過剰に見積もりされた残余コストのバランスを取るポテンシャル関数を最小化することで、フロー最適性に到達できるか？
• RQ4 木構造に基づく構造と再帰的フロー／ポテンシャル計算を用いることで、フロー問題においてほぼ線形時間計算量を達成できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、無向グラフにおける$(1+\varepsilon)$-最適な単一需要フローを$\tilde{O}(m\varepsilon^{-2})$時間で計算し、この問題に対して最も高速な既知の実行時間を達成する。
• 現在の混雑度と過剰に見積もりされた残余ルーティングコストを組み合わせたポテンシャル関数を用いることで、近似的最適なフローへの収束が保証される。
• $n^{o(1)}$-混雑度近似関数のほぼ線形時間構築により、全体の$\tilde{O}(m\varepsilon^{-2})$実行時間が達成される。
• 導出率$\phi$のグラフに対しては、自明な$\phi^{-1}$-混雑度近似関数が得られ、$\tilde{O}(m\phi^{-1})$時間で実行される単純なアルゴリズムが得られる。
• このアプローチは任意の$\alpha$-混雑度近似関数に一般化可能であり、特定のグラフクラスではさらに高速なアルゴリズムの可能性を示唆する。
• 木に基づくプリミティブを用いたRとR^\topの再帰的計算は、$\tilde{O}(tn)$時間で実行され、効率的なポテンシャルおよびフローの更新を可能にする。