[論文レビュー] Approximate Undirected Transshipment and Shortest Paths via Gradient Descent.

Ruben Becker, Andreas Karrenbauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、多項式的に有界な整数重みをもつ無向グラフにおいて、$1 + \epsilon$ 近似で無向輸送問題（最小コストフローに等価）を解くための新しい勾配降下法を提示する。スパーススパナーを用いて各反復を高速化することで、RAM、ストリーミング、分散モデルにおいてより高速なアルゴリズムを達成し、スパースホップセットの使用を回避する。

ABSTRACT

We present a method for solving the transshipment problem - also known as uncapacitated minimum cost flow - up to a multiplicative error of $1 + \epsilon$ in undirected graphs with polynomially bounded integer edge weights using a tailored gradient descent algorithm. An important special case of the transshipment problem is the single-source shortest paths (SSSP) problem. Our gradient descent algorithm takes $O(\epsilon^{-3} \mathrm{polylog} n)$ iterations and in each iteration it needs to solve a variant of the transshipment problem up to a multiplicative error of $\mathrm{polylog} n$. In particular, this allows us to perform a single iteration by computing a solution on a sparse spanner of logarithmic stretch. As a consequence, we improve prior work by obtaining the following results: (1) RAM model: $(1+\epsilon)$-approximate transshipment in $ ilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ computational steps (leveraging a recent $O(m^{1+o(1)})$-step $O(1)$-approximation due to Sherman [2016]). (2) Multipass Streaming model: $(1 + \epsilon)$-approximate transshipment and SSSP using $ ilde{O}(n) $ space and $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ passes. (3) Broadcast Congested Clique model: $(1 + \epsilon)$-approximate transshipment and SSSP using $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ rounds. (4) Broadcast Congest model: $(1 + \epsilon)$-approximate SSSP using $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)}(\sqrt{n} + D))$ rounds, where $ D $ is the (hop) diameter of the network. The previous fastest algorithms for the last three models above leverage sparse hop sets. We bypass the hop set computation; using a spanner is sufficient in our method. The above bounds assume non-negative integer edge weights that are polynomially bounded in $n$; for general non-negative weights, running times scale with the logarithm of the maximum ratio between non-zero weights.

研究の動機と目的

• 多項式的に有界な整数辺重みをもつグラフにおける近似無向輸送問題のためのより高速なアルゴリズムの設計。
• さまざまな計算モデルにおいて、輸送問題および単一始点最短経路（SSSP）の$(1 + \epsilon)$-近似解を達成すること。
• 分散およびストリーミングモデルでスパースホップセットに依存しないように、代わりにスパーススパナーを用いること。
• RAMモデルにおける計算複雑度を$\tilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ ステップに低減すること。
• 最大重み比の対数を用いたスケーリングにより、一般の非負の辺重みへとこの手法を拡張すること。

提案手法

• 各反復で輸送問題の変種を$\mathrm{polylog}\,n$ の誤差で解くことで、最適解に近づけるように調整された勾配降下法を採用する。
• 各反復は、スパーススパナーを用いて効率的に計算可能であり、スパーススパナーによる近似を活用する。
• 各勾配ステップを、対数的ストレッチを持つスパーススパナーでシミュレートすることで、1反復あたりのコストを削減する。
• 収束速度は$O(\epsilon^{-3} \mathrm{polylog}\,n)$ 反復であり、各反復はスパナーに基づく近似に依存する。
• 最近の$O(m^{1+o(1)})$ ステップで$O(1)$-近似が得られる輸送問題の解法を用いて、勾配降下のプロセスをブートストラップする。
• 一般の非負の重みに対しては、実行時間が最大重みと最小非ゼロ重みの比の対数に比例する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配降下法は、収束性と効率性を保証しながら、無向輸送問題に効果的に適応可能か？
• RQ2 分散およびストリーミングモデルにおいて、輸送問題およびSSSPの文脈でスパーススパナーがスパースホップセットに代わって使用可能か？
• RQ3 このアプローチを用いて、RAMモデルで$(1 + \epsilon)$-近似解を得るための計算複雑度はどの程度か？
• RQ4 ブロードキャストコンゲストおよびコンゲストクラスターモデルでは、アルゴリズムのスケーリング特性はいかなるものか？
• RQ5 大きな重みの変動を許容する一般的な非負の辺重みに対しても、実行時間の著しい増加なしに処理可能か？

主な発見

• RAMモデルでは、$(1 + \epsilon)$-近似輸送問題解法を$\tilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ ステップで計算可能。
• マルチパスストリーミングモデルでは、$\tilde{O}(n)$ のメモリと$\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ 回のパスで、$(1 + \epsilon)$-近似輸送問題およびSSSPを達成。
• ブロードキャストコンゲストクラスターモデルでは、$\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ ラウンドで$(1 + \epsilon)$-近似輸送問題およびSSSPを計算可能。
• ブロードキャストコンゲストモデルでは、$(1 + \epsilon)$-近似SSSPを$\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)}(\sqrt{n} + D))$ ラウンドで計算可能。ここで$D$ はホップ径。
• スパースホップセットの使用を回避する代わりにスパーススパナーを用いることで、分散モデルにおける実装の簡素化とオーバーヘッドの低減を実現。
• 一般の非負の重みに対しては、実行時間が$\log(\text{最大重み}/\text{最小重み})$ に比例し、広範な重み仮定下でも効率性を維持。