[論文レビュー] (Non)Commutative Finsler Geometry from String/M--theory

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Nov 8, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 86被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何とフィンスler幾何を、非完全な（非完全従属の）フレームと非線形接続（N-接続）構造を活用することで、超弦/M理論の枠組み内で統一することを提案する。非可換性のない状況でも、B場と非完全な制約を伴う低エネルギー有効作用から、局所的に異方的な非可換時空間が自然に生じることを示し、非可換ブラック・エリプソイド、ソリトン的ブラックホール、異方的ワームホールといった正確な解が得られる。これにより、超弦理論的基礎に基づいて、アインシュタイン重力が非可換的およびフィンスラータイプの幾何に拡張される。

ABSTRACT

We synthesize and extend the previous ideas about appearance of both noncommutative and Finsler geometry in string theory with nonvanishing B--field and/or anholonomic (super) frame structures \cite{vstring,vstr2,vnonc,vncf}. There are investigated the limits to the Einstein gravity and string generalizations containing locally anisotropic structures modeled by moving frames. The relation of anholonomic frames and nonlinear connection geometry to M--theory and possible noncommutative versions of locally anisotropic supergravity and D--brane physics is discussed. We construct and analyze new classes of exact solutions with noncommutative local anisotropy describing anholonomically deformed black holes (black ellipsoids) in string gravity, embedded Finsler--string two dimensional structures, solitonically moving black holes in extra dimensions and wormholes with noncommutativity and anisotropy induced from string theory.

研究の動機と目的

• 非完全（非完全従属の）フレームと非線形接続（N-接続）を用いて、超弦/M理論における非可換的およびフィンスラ的構造を統一する幾何的枠組みを確立すること。
• 非ゼロのB場を伴う超弦理論の低エネルギー有効作用から、局所的に異方的な時空（フィンスラ的または一般化されたラグランジュ幾何としてモデル化されたもの）が自然に生じることを示すこと。
• コンネスの非可換幾何を、異方的および非完全従属の構造に拡張し、M理論およびDブレーン物理学におけるそれらの出現を示すこと。
• 非可換局所的異方性を有する超弦重力における新しい正確な解を構成・解析すること。非可換ブラックホールやワームホールを含む。
• フィンスラ空間およびラグランジュ空間を、非対角的計量と関連するN-接続を持つリーマン幾何として等価に再定式化することにより、異方的重力の統一的取り扱いを可能にする。

提案手法

• 非完全フレーム変換と非線形（N-）接続構造を用いて、超弦理論における局所的に異方的な時空をモデル化する。
• エリ・カルタンの移動フレーム（ビエルベイン）法を応用し、超弦理論的背景からフィンスラ的および一般化されたラグランジュ幾何を導出する。
• 非完全変数における有効作用と場の運動方程式を構築し、非線形σモデルを介して、超弦理論から低エネルギーアインシュタイン重力およびフィンスラ重力を導出する。
• 行列代数と非可換積分を用いて、非可換フレーム微分と非可換トーラスを導入し、非可換時空間構造をモデル化する。
• 2n次元リーマン多様体上にフィンスラ構造を非対角的計量の仮定を用いて幾何的に実現するため、フィンスラ空間およびラグランジュ空間のほぼカーラー的モデルを用いる。
• 計量とN-接続データから明示的なd接続、d torsion（dねじれ）、d曲率成分を導出し、異方的幾何に適したdアインシュタイン方程式の定式化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロのB場と非完全フレーム構造を伴う超弦/M理論において、非可換的およびフィンスラ的幾何はどのように生じるか？
• RQ2 フィンスラ的幾何としてモデル化されたような局所的に異方的な時空は、低エネルギー有効超弦重力において正確な解として得られるか？
• RQ3 非線形接続（N-接続）と非完全フレームは、超弦理論における非可換幾何と異方的重力の統一に果たす役割は何か？
• RQ4 非可換異方的場の理論とDブレーン物理学は、M(atrix)理論および超弦のコンパクト化からどのように生じるか？
• RQ5 ブラック・エリプソイド、ソリトン的ブラックホール、非可換ワームホールといった正確な解は、この非完全・非可換・フィンスラ幾何的枠組み内で構成可能か？

主な発見

• 非可換的およびフィンスラ的幾何は、明示的な非可換性がなくても、非完全フレーム構造と非線形接続を通じて超弦理論で自然に生じる。
• 本稿では、非可換局所的異方性を有する超弦重力の正確な解を構築し、標準的ブラックホール解を一般化するブラック・エリプソイドを含む。
• ソリトン的ブラックホール配置は、非完全変形を通じて余剰次元を伝播することが判明し、超弦理論における新しい非摂動的状態を示唆する。
• 非可換異方的ワームホールは正確な解として導出され、その幾何は超弦理論的制約とB場によって誘導される。
• フィンスラ幾何とラグランジュ幾何が、非対角的計量と関連するN-接続を持つリーマン幾何と等価であることが示され、異方的重力の統一的幾何的定式化が可能になる。
• フィンスラ幾何のほぼカーラー的モデルが閉じており、ほぼ複素構造と整合することを証明し、非可換異方的場の理論の微分幾何的基盤が得られる。