[論文レビュー] Non-fillable invariant contact structures on principal circle bundles and left-handed twists

River Chiang, Fan Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、主円周バンドル上の不変接触構造を構成するため、デーンねじりの一般化としてシンプレクティック分数ねじりを導入する。左側分数ねじりを含む開本を用いて、このような接触多様体が、bLobs や負の安定化を含まない場合でも、しばしば非可埋没法的であり、代数的に過張りつぎであることを示す。一方で、ワイナーベル予想を満たす。

ABSTRACT

We define symplectic fractional twists, which generalize Dehn twists, and use these in open books to investigate contact structures. The resulting contact structures are invariant under a circle action, and share several similarities with the invariant contact structures that were studied by Lutz and Giroux. We show that left-handed fractional twists often give rise to non-fillable contact manifolds. These manifolds are in fact "algebraically overtwisted", yet they do not seem to contain bLobs, nor are they directly related to negative stabilizations. We also show that the Weinstein conjecture holds for the non-fillable contact manifolds we construct, and we investigate the symplectic isotopy problem for fractional twists.

研究の動機と目的

• 高次元接触トポロジーにおけるデーンねじりの一般化として、シンプレクティック分数ねじりを定義すること。
• 開本における左側分数ねじりから生じる接触構造の可埋没法的性および過張りつぎ性を調査すること。
• これらの構成において、bLobs や負の安定化の不在と、非可埋没法的性、代数的過張りつぎ性との関係を明らかにすること。
• 左側モノドロミーを有する接触開本が非可埋没法的接触多様体をもたらす条件を確立すること。
• 構成された非可埋没法的接触多様体に対してワイナーベル予想を検証し、分数ねじりに関するシンプレクティック同相型の問題を検討すること。

提案手法

• 関数 $ f: I \to \mathbb{R} $ に対して $ f(0) = 2\pi/\ell $, $ f(1) = 0 $ を満たすものとして、境界のコラージュ近傍上でシンプレクティック同相を誘導するように、デーンねじりの一般化としてシンプレクティック分数ねじりを定義する。
• リーマン多様体 $ W $ の $ \ell $ 重被覆 $ \tilde{W} $ 上に、予量子化境界 $ P $ を持つ、右側および左側分数ねじり $ \tau $ と $ \tau^{-1} $ を構成する。
• これらのねじりを用いて、接触開本 $ \mathrm{OB}(\tilde{W}, \tau^{\pm 1}) $ を定義し、滑らかな多様体 $ M_{\pm} $ 上の主円周バンドルを得る。
• 接触構造の解析にあたり、$ S^1 $-不変性とほぼ分割集合の構造に注目して、開本分解を用いる。
• ホロモーフィック曲線技法とインデックスの議論（例：補題 5.2、6.2–6.5）を適用し、接触ホモロジー微分を計算し、$ \partial \gamma_1 = \pm 1 $ を示す。
• ワイナーモデルとの連結和の議論を用いて微分構造を保ち、特定の条件下で接触ホモロジーが消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予量子化バンドル上の開本における左側分数ねじりは、非可埋没法的接触多様体を生成するか？
• RQ2 このような非可埋没法的接触構造は、bLobs を含まず、負の安定化から生じない場合でも、代数的に過張りつぎであるか？
• RQ3 左側分数ねじりを用いて構成された接触多様体に対して、ワイナーベル予想は成立するか？
• RQ4 $ n \geq 2 $ のとき、接触開本 $ \mathrm{OB}(T^*\mathbb{C}P^n, \tau^{-1}) $ が非可埋没法的である条件は何か？
• RQ5 分数ねじりはシンプレクティック同相型においてどのように振る舞い、この文脈における同相型の障害は何か？

主な発見

• 左側分数ねじりは、しばしば、bLobs や負の安定化を含まない場合でも、非可埋没法的で代数的に過張りつぎの接触多様体を生成する。
• 接触開本 $ \mathrm{OB}(\tilde{W}, \tau^{-1}) $ は、$ M_- = (P \times_{S^1,-} D^2) \cup_{\partial} W $ 上の主円周バンドルであり、$ S^1 $-不変接触構造と、$ P $ に微分同相なほぼ分割集合を有する。
• $ n = 1 $ の場合、$ \mathrm{OB}(T^*\mathbb{C}P^1, \tilde{\tau}^{-1}) $ は凸的で半正の可埋没法的でないが、$ \mathrm{OB}(T^*\mathbb{C}P^1, \tilde{\tau}) \cong S^5 $ はリーマン可埋没法的である。
• このような非可埋没法的多様体では、接触ホモロジーが消える。これは $ \partial \gamma_1 = \pm 1 $ により示され、微分に寄与する剛性のあるホロモーフィックシリンダーや平面は存在しない。
• 左側分数ねじりを用いて構成された非可埋没法的接触多様体に対して、ワイナーベル予想は成立する。これは、可縮な周期的リーブ軌道の存在による。
• 分数ねじりのシンプレクティック同相型問題は未解決のままだが、本稿では被覆のテクニックを用いてねじりが拡張可能である条件とインデックス制約を示している。