[論文レビュー] Open books for Boothby-Wang bundles, fibered Dehn twists and the mean Euler characteristic

River Chiang, Fan Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ファイバー化されたドーンねじの冪をモノドロミーとするオープンブックを調査し、それらによって得られる接触多様体が、シンプレクティック・オルビフォールド上に Boothby–Wang オルビバンドルであることを示している。等長的シンプレクティックホモロジーの平均オイラー特性を用いて、これらの多様体を区別し、特定のファイバー化されたドーンねじが境界に沿った相対的なシンプレクティック同相で恒等写像に同相でないことを証明しており、フローリングホモロジーに依存しない、新たな不変量に基づく障害を提供している。

ABSTRACT

We examine open books with powers of fibered Dehn twists as monodromy. The resulting contact manifolds can be thought of as Boothby-Wang orbibundles over symplectic orbifolds. Using the mean Euler characteristic of equivariant symplectic homology we can distinguish these contact manifolds and hence show that some fibered Dehn twists are not symplectically isotopic to the identity relative to the boundary. This complements results of Biran and Giroux.

研究の動機と目的

• シンプレクティック被覆の結果として得られる接触多様体におけるファイバー化されたドーンねじの冪のシンプレクティック同相型を調査すること。
• 標準的なドーンねじを超えて、特に $S^1$-作用を伴う状況下でのシンプレクティックモノドロミーの理解を拡張すること。
• 等長的シンプレクティックホモロジーの平均オイラー特性を新たな不変量として用い、ファイバー化されたドーンねじから生じる接触構造を区別すること。
• ラグランジュ的フローリングホモロジーに基づく手法に代わる方法として、リーブ動力学とオルビフォールド構造を用いて、ファイバー化されたドーンねじの非自明性を検出すること。

提案手法

• 境界が接触型で、自由な $S^1$-作用をもつシンプレクティック多様体上で、$N$ 重のファイバー化されたドーンねじをモノドロミーとするオープンブックを構成すること。
• 得られた接触多様体を、Biran と Giroux の構成を一般化したシンプレクティック・オルビフォールド上に Boothby–Wang オルビバンドルとして実現すること。
• フローリング理論からの既知の不変性結果を活用し、リーブ軌道のデータを用いて等長的シンプレクティックホモロジーの平均オイラー特性を計算すること。
• 平均オイラー特性をシンプレクティック不変量として用い、異なるファイバー化されたドーンねじの冪から生じる接触構造を区別すること。
• 被覆空間の技法を適用して同相性の問題を上昇させる：もしファイバー化されたドーンねじが恒等写像に同相であれば、$d$ 重被覆への上昇写像に対しても同様に恒等写像に同相であるはずである。
• 上昇したモノドロミーのホモロジーへの作用を解析し、特に $T^*S^n$ における標準的ドーンねじの既知の非同相性結果と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長的シンプレクティックホモロジーの平均オイラー特性は、異なるファイバー化されたドーンねじの冪から生じる接触多様体を区別できるか？
• RQ2 境界に沿った $S^1$-作用をもつシンプレクティック多様体上のファイバー化されたドーンねじは、境界に沿った相対的なシンプレクティック同相で恒等写像に同相か？
• RQ3 Boothby–Wang バンドルのオルビフォールド構造は、モノドロミー写像のシンプレクティック同相型にどのように影響するか？
• RQ4 標準的なフローリングホモロジーが直接適用できない状況において、被覆空間の技法はファイバー化されたドーンねじの非同相性を検出できるか？
• RQ5 環境となるシンプレクティック多様体にどのような条件を課すと、ファイバー化されたドーンねじが恒等写像に同相でなくなるか？

主な発見

• 等長的シンプレクティックホモロジーの平均オイラー特性は、接触多様体 $\operatorname{OB}(W, \tau^N)$ に対して単射不変量であり、異なる冪 $N$ のファイバー化されたドーンねじを区別する。
• $n$ が偶数で $N$ が奇数のとき、Brieskorn多様体 $\Sigma(N,2,\ldots,2)$ の平均オイラー特性は $\chi_m = \frac{1}{2}\frac{nN+1}{(n-1)N+2}$ であり、これは $N$ に関して厳密に減少するため、冪の相違を証明する。
• $W_d = \mathbb{C}P^n - \nu(H_d^{n-1})$ 上のファイバー化されたドーンねじは、任意の $d > 1$ に対して境界に沿った滑らかな同相で恒等写像に同相でない。これは $d$ 重被覆 $V_d$ への上昇を用いて示される。
• $W_d$ 上のファイバー化されたドーンねじの $d$ 重被覆はホモロジーに非自明に作用するため、恒等写像に同相でないことが矛盾する。特に $d > 2$ の場合、また $d=2$ の場合、$T^*S^n$ 上の標準的ドーンねじに帰着され、これは既知のところ恒等写像に同相でない。
• $\operatorname{OB}(W, \tau^N)$ の構成により、シンプレクティック・オルビフォールド上に Boothby–Wang オルビバンドルが得られ、Biran と Giroux の元々のオープンブック構成を一般化する。
• 平均オイラー特性を用いる手法は、ラグランジュ的フローリングホモロジーの代替手段として、リーブ動力学に基づく新たな方法を提供し、シンプレクティックモノドロミーの非自明性を検出する。