[論文レビュー] Non-formal co-symplectic manifolds

Giovanni Bazzoni, Marisa Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$ m \geq 3 $ のすべての奇数次元において、$ m=3, b_1=1 $ の場合を除き、非形式的でコンpakトなコシンプレクティック多様体の存在を確立する。非形式的コシンプレクティック多様体が存在するための必要十分条件は、$ m=3 $ かつ $ b_1 \geq 2 $、または $ m \geq 5 $ かつ $ b_1 \geq 1 $ であることが示され、トーラスやリー群上の微分同相写像のマッピングトーラスを用いた具体的な構成と、最小モデルにおけるマッセイ積の非消滅性によって非形式性が証明される。

ABSTRACT

We study the formality of the mapping torus of an orientation-preserving diffeomorphism of a manifold. In particular, we give conditions under which a mapping torus has a non-zero Massey product. As an application we prove that there are non-formal compact co-symplectic manifolds of dimension $m$ and with first Betti number $b$ if and only if $m=3$ and $b \geq 2$, or $m \geq 5$ and $b \geq 1$. Explicit examples for each one of these cases are given.

研究の動機と目的

• すべての奇数次元および最初のベッチ数について、非形式的でコンパクトなコシンプレクティック多様体の存在を特定すること。
• コシンプレクティック多様体の地理的問題を解き、どのペア $ (m=2n+1, b_1) $ が非形式的例を許容するかを特定すること。
• 次元5で $ b_1 = 1 $ の非形式的コシンプレクティック多様体の具体的な構成を行い、分類における重要な空白を埋めること。
• 特に高次のコホモロジー作用素を検出するために、多様体の最小モデルにおけるマッセイ積を用いて非形式性を証明すること。

提案手法

• シンプレクティックまたはカーラー多様体上の向きを保つ微分同相写像のマッピングトーラスとしてコシンプレクティック多様体を構成する。
• マッピングトーラスの最小モデルを用いて非形式性を検出する。特に、コホモロジーに作用する写像が次数 $ p $ で固有値1をもつ場合（重複度 $ r \geq 1 $）に注目する。
• 定理15を適用して、微分同相写像のコホモロジー的条件の下で次数 $ p $ まで最小モデルを決定する。
• 閉形式のペア $ (F, \eta) $ を用いてコシンプレクティック構造を定義し、$ \eta \wedge F^n \neq 0 $ を満たすことで体積形式を保証する。
• de Rham複体におけるマッセイ積の計算により非形式性を検出する。たとえば $ \langle [\alpha_1 \wedge \alpha_2], [\alpha_5], [\alpha_5], [\alpha_5] \rangle \neq 0 $ である。
• 特定の構造方程式 $ d\alpha_j = (-1)^j \alpha_j \wedge \alpha_{2n+1} $（$ j=1,\dots,2n-2 $）を持つ完全可解リー群を用いて、5次元例を高次元の奇数次元へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ m=2n+1 \geq 3 $、$ b_1 \geq 1 $ のペア $ (m=2n+1, b_1) $ に対して、非形式的でコンパクトなコシンプレクティック多様体が存在する条件は何か？
• RQ2 次元5で最初のベッチ数 $ b_1 = 1 $ の非形式的コシンプレクティック多様体を明示的に構成できるか？
• RQ3 多様体 $ N $ の微分同相写像 $ \varphi $ に対して、そのマッピングトーラス $ N_\varphi $ が非形式的であるための条件は何か？
• RQ4 マッセイ積は、コシンプレクティック多様体の最小モデルにおける非形式性をどのように検出できるか？
• RQ5 コシンプレクティック多様体の非形式性は、その背後にあるマッピングトーラスの構成の位相的性質によって妨げられるか？

主な発見

• 非形式的でコンパクトなコシンプレクティック多様体が存在するのは、$ m=3 $ かつ $ b_1 \geq 2 $、または $ m \geq 5 $ かつ $ b_1 \geq 1 $ の場合に限る。ただし $ (m,b_1)=(3,1) $ を除く。
• 最初のベッチ数 $ b_1(S) = 1 $ の非形式的5次元コシンプレクティック多様体 $ S $ が、4次元トーラス上の微分同相写像のマッピングトーラスとして明示的に構成される。
• 多様体 $ S $ の最小モデルには3次元で非正確な閉元が存在し、$ S $ は2-形式的でない（したがって形式的でもない）ことが示される。
• 非消滅する4重マッセイ積 $ \langle [\alpha_1 \wedge \alpha_2], [\alpha_5], [\alpha_5], [\alpha_5] \rangle = \frac{1}{2}[\alpha_3 \wedge \alpha_4 \wedge \alpha_5] \neq 0 $ が非形式性を確認する。
• 完全可解リー群を用いて、$ 2n+1 \geq 5 $ の高次元の奇数次元へ一般化可能であり、構造方程式は $ j=1,\dots,2n-2 $ に対して $ d\alpha_j = (-1)^j \alpha_j \wedge \alpha_{2n+1} $ を満たす。
• コホモロジー次数 $ p $ で固有値1をもち、重複度 $ r \geq 1 $ である微分同相写像のマッピングトーラスは、$ r=1 $ の場合に非形式的であることが、系16により示される。