[論文レビュー] K\"ahler spaces with zero first Chern class: Bochner principle, fundamental groups, and the Kodaira problem.

Benoît Claudon, Patrick Graf+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、klt特異点と第一チャーン類が0であるコンパクトなKähler空間の滑らかでない部分において、正則テンソルのボッハナー原理を確立し、特異なリッチ平坦計量のもとでそれらが平行であることを証明する。主な結果として、このような空間は有限の準エタール被覆をとることで、最大次元の複素トーラスに分解され、接層はホロノミーに応じて分解され、強く安定な接層をもつものは、準エタール被覆をとることで、カルラヤ・ヤウまたは非可約ホロモルフィックシンプレクティックに分類される。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact Kahler space with klt singularities and vanishing first Chern class. We prove the Bochner principle for holomorphic tensors on the smooth locus of $X$: any such tensor is parallel with respect to the singular Ricci-flat metrics. As a consequence, after a finite quasi-etale cover $X$ splits off a complex torus of the maximum possible dimension. We then proceed to decompose the tangent sheaf of $X$ according to its holonomy representation. In particular, we classify those $X$ which have strongly stable tangent sheaf: up to quasi-etale covers, these are either Calabi-Yau or irreducible holomorphic symplectic. Several applications of these results are given, the strongest ones of which apply in dimension four. In this case, we prove Campana's Abelianity Conjecture for $X$. If in addition $X$ has only algebraic singularities then a cover of $X$ admits small projective deformations and the Beauville-Bogomolov Decomposition Theorem holds for $X$.

研究の動機と目的

• klt特異点と第一チャーン類が0であるコンパクトKähler空間の滑らかでない部分における正則テンソルのボッハナー原理を確立すること。
• このような空間が最大次元の複素トーラスに分解される有限の準エタール被覆をもつことを証明すること。
• 接層をそのホロノミー表現に従って分解し、強く安定な接層をもつ空間を分類すること。
• このような空間について、次元4におけるカムパナのアーベリアン性予想を証明すること。
• 追加の代数的特異点の仮定の下で、ボシュヴィレ＝ボゴモロフ分解定理を確立すること。

提案手法

• klt特異点と第一チャーン類が0であるコンパクトKähler空間の滑らかでない部分に特異なリッチ平坦計量を用いる。
• ボッハナー原理を適用して、正則テンソルがこれらの計量に関して平行であることを示す。
• 有限の準エタール被覆を用いて問題を単連結な場合に還元し、ホロノミー表現を解析する。
• 接層をそのホロノミー表現によって解析し、それを既約成分に分解する。
• 複素幾何における安定性基準と分類結果を用いて、強く安定な接層をもつ空間を特定する。
• 次元4の多様体において、次元特有の技法を適用し、カムパナのアーベリアン性予想を証明するとともに、代数的特異点の条件下で小さなプロジェクト型変形の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt特異点と第一チャーン類が0であるコンパクトKähler空間の滑らかでない部分における正則テンソルについて、ボッハナー原理は成り立つか？
• RQ2 このような空間は、有限の準エタール被覆によって最大次元の複素トーラスに分解可能か？
• RQ3 接層のホロノミー表現は、これらの空間の幾何的構造をどのように分類するか？
• RQ4 第一チャーン類が0でklt特異点をもつKähler空間のうち、強く安定な接層をもつものはどれであり、それらの幾何的型は何か？
• RQ5 次元4において、カムパナのアーベリアン性予想はこのような空間について成り立つか？また、ボシュヴィレ＝ボゴモロフ分解定理はどのような条件下で成立するか？

主な発見

• このようなKähler空間の滑らかでない部分における正則テンソルは、特異なリッチ平坦計量に関して平行である。
• 有限の準エタール被覆をとることで、最大次元の複素トーラスに分解される。
• 接層はそのホロノミー表現に従って既約成分に分解される。
• 強く安定な接層をもつ空間は、準エタール被覆をとることで、カルラヤ・ヤウまたは非可約ホロモルフィックシンプレクティックに分類される。
• 次元4において、カムパナのアーベリアン性予想はこれらの空間について成り立つ。
• 特異点が代数的である場合、有限の準エタール被覆が小さなプロジェクト型変形を許容し、ボシュヴィレ＝ボゴモロフ分解定理が成立する。