[論文レビュー] Non-Simplicial Nerves for Two-Dimensional Categorical Structures

Nathaniel G. Watson|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、(2,1)-圏に対するDuskinの単体的ネorsi構成を、∆²、Γ、Θ₂上のプレシェーブ・カテゴリに値をとる新しいネルスへ一般化し、これらのネルスが高次元の内部ホーンに対して一意な補填をもつ条件を満たすプレシェーブであることを示している。主な貢献は、'内部キーン・Γ-集合'を用いた対称的モノイダル(∞,0)-圏の組み合わせ的モデルの提案であり、これはE∞-空間と同値であると予想されている。

ABSTRACT

The most natural notion of a simplicial nerve for a (weak) bicategory was given by Duskin, who showed that a simplicial set is isomorphic to the nerve of a $(2,1)$-category (i.e. a bicategory with invertible $2$-morphisms) if and only if it is a quasicategory which has unique fillers for inner horns of dimension $3$ and greater. Using Duskin's technique, we show how his nerve applies to $(2,1)$-category functors, making it a fully faithful inclusion of $(2,1)$-categories into simplicial sets. Then we consider analogues of this extension of Duskin's result for several different two-dimensional categorical structures, defining and analysing nerves valued in presheaf categories based on $Δ^2$, on Segal's category $Γ$, and Joyal's category $Θ_2$. In each case, our nerves yield exactly those presheaves meeting a certain "horn-filling" condition, with unique fillers for high-dimensional horns. Generalizing our definitions to higher dimensions and relaxing this uniqueness condition, we get proposed models for several different kinds higher-categorical structures, with each of these models closely analogous to quasicategories. Of particular interest, we conjecture that our "inner-Kan $Γ$-sets'' are a combinatorial model for symmetric monoidal $(\infty,0)$-categories, i.e. $E_\infty$-spaces. This is a version of the author's Ph.D. dissertation, completed 2013 at the University of California, Berkeley. Minor corrections and changes are included.

研究の動機と目的

• Duskinの(2,1)-圏に対する単体的ネルス構成を、新たなカテゴリカル構造へ拡張すること。
• ∆²、Γ、Θ₂上のプレシェーブ・カテゴリを用いて、さまざまな2次元カテゴリカル構造のネルスを定義すること。
• 高次元の内部ホーンに対して一意な補填をもつホーン補填条件により、これらのネルスを特徴付けること。
• クーヴィーカテゴリに類似した、高次圏的構造のための新しい組み合わせ的モデルを提案すること。
• 内部キーン・Γ-集合が対称的モノイダル(∞,0)-圏（E∞-空間）をモデル化すると予想すること。

提案手法

• 三項演算χを備えた集合Xから、Glenn表を用いて合成を符号化する双圏Bic(X)を構成する。
• DuskinネルスN(Bic(X,χ))を、次元≥3に対して一意な内部ホーン補填を満たす単体的集合として定義する。
• Verityの二重圏（VDC）に対して双単体的ネルスを導入し、内部キーン条件を満たす双単体的集合へ写像する。
• 対称的モノイダル群のΓ-ネルスを定義し、'内部キーン・Γ-集合'をE∞-空間の候補モデルとして得る。
• JoyalのカテゴリΘ₂を用いてグローブラルネルスを構成し、ファイナリー双圏FBic(X)を定義し、Θ₂-集合との同値性を証明する。
• ホーン補填条件を高次元へ一般化し、一意性を緩和することで、さまざまな高次圏的構造をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Duskinの(2,1)-圏に対するネルス構成は、∆²、Γ、Θ₂のような他のプレシェーブ・カテゴリへ拡張可能か？
• RQ2 ∆²、Γ、Θ₂上のプレシェーブに対して、2次元カテゴリカル構造のネルスに対応する特徴づけ条件は何か？
• RQ3 内部キーン条件を満たすΓ-集合に基づく、対称的モノイダル(∞,0)-圏の組み合わせ的モデルは存在するか？
• RQ4 Verityの二重圏およびファイナリー双圏のネルスは、それらの元の構造とどのように関係するか？
• RQ5 クーヴィーカテゴリを超える高次圏的構造をモデル化するため、一意な補填を伴うホーン補填条件を高次元へ一般化可能か？

主な発見

• Duskinネルスは、(2,1)-圏を単体的集合へ完全に忠実な埋め込みとして与え、次元≥3の内部ホーンに対して一意な補填を満たすことで特徴づけられる。
• Verity二重圏の双単体的ネルスは、内部キーン条件を満たす双単体的集合を生成し、ネルスと二重圏の構成との間に自然な同型が存在する。
• 対称的モノイダル群のΓ-ネルスは内部キーン・Γ-集合を生成し、論文はこれがE∞-空間のモデルであると予想している。
• Θ₂-ネルス構成により、ファイナリー双圏と一般化された内部キーン条件を満たすΘ₂-集合との同値性が確立される。
• ネルス関手（N）と分類関手（Bic, Vdc, FBic）のペア（NとBic、NとVdc、NθとFBic）が、カテゴリの逆同値であることが示された。
• 内部キーン・Γ-集合の構成が、対称的モノイダル構造と整合することを示し、これがE∞-空間をモデル化すると予想する根拠となっている。