[論文レビュー] Noncommutative Field Theory on Yang's Space-Time Algebra, Covariant Moyal Star Product and Matrix Model

S. Tanaka|ArXiv.org|Jun 20, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヤンの量子化時空代数（YSTA）上にローレンツ共変な非可換場理論を提案し、共変なモーリー星積を用いて、YSTAの離散的スペクトル構造を反映するD0-braneの非自明な場の方程式を導出する。主な結果は、SO(D,1)のカシミール作用素に由来する幾何学的根拠を持つ、クライン=ゴルドン形式を超えた場の方程式であり、適切な極限において可換量子力学を回復し、離散固有値によるUV正則化を示す。

ABSTRACT

Noncommutative field theory on Yang's quantized space-time algebra (YSTA) is studied. It gives a theoretical framework to reformulate the matrix model as quantum mechanics of $D_0$ branes in a Lorentz-covariant form. The so-called kinetic term ($\sim {\hat{P_i}}^2)$ and potential term ($\sim {[\hat{X_i},\hat{X_j}]}^2)$ of $D_0$ branes in the matrix model are described now in terms of Casimir operator of $SO(D,1)$, a subalgebra of the primary algebra $SO(D+1,1)$ which underlies YSTA with two contraction- parameters, $λ$ and $R$. $D$-dimensional noncommutative space-time and momentum operators $\hat{X_μ}$ and $\hat{P_μ}$ in YSTA show a distinctive spectral structure, that is, space-components $\hat{X_i}$ and $\hat{P_i}$ have discrete eigenvalues, and time-components $\hat{X_0}$ and $\hat{P_0}$ continuous eigenvalues, consistently with Lorentz-covariance. According to the method of Lorentz-covariant Moyal star product proper to YSTA, the field equation of $D_0$ brane on YSTA is derived in a nontrivial form beyond simple Klein-Gordon equation, which reflects the noncommutative space-time structure of YSTA.

研究の動機と目的

• M理論の行列模型に内在するヤンの量子化時空代数（YSTA）上に、ローレンツ共変な非可換場理論を構築すること。
• ヤン=ミルズゲージ対称性に依存しない代わりに、SO(D+1,1)の部分代数たるSO(D,1)のカシミール作用素を用いて、行列模型におけるD0-braneの運動項とポテンシャル項を再定式化すること。
• YSTAの代数的構造に適合した、特化された共変モーリー星積を構築し、場の方程式に非可換時空の構造を適切に符号化すること。
• 共変モーリー星積を用いて、YSTA上でのD0-braneの非自明な場の方程式を導出し、その離散的スペクトル的性質を捉え、標準的な非可換場理論とは異なるUV正則化を示すこと。

提案手法

• SO(D+1,1)代数からパrameter $\lambda$ と $R$ を用いた縮約により、時空および運動量演算子 $\hat{X}_\mu$ と $\hat{P}_\mu$ を定義することで、YSTA上に非可換場理論を構築する。
• SO(D+1,1)の準正則表現を用いて、空間成分に対して離散固有値、時間成分に対して連続固有値を持つユニタリ無限次元表現を実現し、ローレンツ共変性と整合する。
• YSTAの代数的構造に適合する共変モーリー星積を導入し、標準的なモーリー星積を超える非可換幾何を反映する場の方程式の導出を可能にする。
• 共変モーリー星積を用いてD0-braneの場の方程式を導出し、ローレンツ不変性、スケール不変性、並進不変性を保つ非自明な微分方程式を得る。
• 場の方程式の解を解析し、特に光円錐特異性を回避する連続質量 $\kappa$ に関する重ね合わせによって構成される、マークフの正則化された $\tilde{D}(x)$ 関数に類似した特別な不変関数を特定する。
• 反比例作用素の離散固有値を無限大に近づけることで、YSTAの量子力学的極限をとる。これにより、可換時空、ハイゼンベルクの不確定性関係、および標準的量子力学が回復され、既知の物理と整合することが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列模型におけるD0-braneの力学を、ヤンの時空代数（YSTA）上に非可換場理論を用いて、明示的にローレンツ共変な形に再定式化することは可能か？
• RQ2 行列模型におけるD0-braneの運動項とポテンシャル項は、YSTAのSO(D+1,1)枠組み内において、SO(D,1)のカシミール作用素として幾何学的に解釈可能か？
• RQ3 共変モーリー星積を用いて導出されたYSTA上でのD0-braneの場の方程式の形は何か？また、標準的なクライン=ゴルドン方程式とはどのように異なるか？
• RQ4 YSTAの非可換構造、特に空間演算子の離散スペクトルと時間の連続スペクトルが、場理論の短距離挙動およびUV性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 特別な解 $\exp(i\alpha \Sigma_{aK}^2)$ 及びそのフーリエ変換 $F_\alpha(k) \sim \exp(-i k_L^2 / 4\alpha)$ は、導出された場の方程式の不変性と構造を明らかにする役割を果たすか？

主な発見

• 行列模型におけるD0-braneの運動項とポテンシャル項は、SO(D+1,1)の部分代数たるSO(D,1)のカシミール作用素として幾何学的に記述され、ヤン=ミルズゲージ対称性に依存しない共変的かつ幾何的再定式化を実現する。
• 共変モーリー星積を用いて導出されたYSTA上でのD0-braneの場の方程式は、非自明な形をとり、YSTAの非可換時空構造を明示的に符号化しており、標準的なクライン=ゴルドン方程式を超える。
• 場の方程式はローレンツ変換、スケール変換、並進変換に対して不変であり、YSTAの量子力学的極限において質量ゼロのクライン=ゴルドン方程式に還元される。
• 特別な解 $\exp(i\alpha \Sigma_{aK}^2)$ 及びそのフーリエ変換 $F_\alpha(k) \sim \exp(-i k_L^2 / 4\alpha)$ は、$\Sigma_{aK} \leftrightarrow \partial / \partial \Sigma_{aK}$ の交換に対する深い対称性を示し、非可換自由度間の非自明な結合を示唆する。
• 場の方程式は、連続質量 $\kappa$ と不定計量を有する $\Delta(x; \kappa^2)$ 関数の重ね合わせとして構成される、マークフの正則化された $\tilde{D}(x)$ 関数に類似した解を有する。この解は光円錐特異性を回避する。
• 反比例作用素の離散固有値を無限大に近づける量子力学的極限において、YSTAは標準的な可換時空、ハイゼンベルクの不確定性関係、および通常の量子力学を回復し、既知の物理と整合することが確認される。