[論文レビュー] Space-Time Quantization and Nonlocal Field Theory -Relativistic Second Quantization of Matrix Model

S. Tanaka|ArXiv.org|Feb 1, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Snyder-Yangの量子化時空枠組みを用いて、D粒子の行列模型に対する相対論的第二量子化場理論を提案する。第二量子化D場が光円錐時間 $X^+$ と可換であると仮定することで、行列模型と整合するハミルトニアンおよびハイゼンベルクの運動方程式が導かれる。これにより、D粒子位置の非可換性と量子化時空の非可換構造が第二量子化によって統一される。

ABSTRACT

We propose relativistic second quantization of matrix model of D particles in a general framework of nonlocal field theory based on Snyder-Yang's quantized space-time. Second-quantized nonlocal field is in general noncommutative with quantized space-time, but conjectured to become commutative with light cone time $X^+$. This conjecture enables us to find second-quantized Hamiltonian of D particle system and Heisenberg's equation of motion of second-quantized {\bf D} field in close contact with Hamiltonian given in matrix model. We propose Hamilton's principle of Lorentz-invariant action of {\bf D} field and investigate what conditions or approximations are needed to reproduce the above Heisenberg's equation given in light cone time. Both noncommutativities appearing in position coordinates of D particles in matrix model and in quantized space-time will be eventually unified through second quantization of matrix model.

研究の動機と目的

• 非局所場理論と量子化時空に基づくD粒子のローレンツ不変な第二量子化場理論の構築を目的とする。
• 行列模型におけるD粒子位置座標の非可換性と、時空自体の非可換構造を統一することを目的とする。
• 行列模型のハミルトニアンと一致する第二量子化ハミルトニアンおよびハイゼンベルクの運動方程式を導出することを目的とする。
• 相対論的作用原理が導かれたハイゼンベルクの運動方程式を再現するための条件を調査することを目的とする。
• 自己相互作用および自己質量項における異常性の原因を、光円錐基底および無限大運動量フレームの性質と関連づけて探ることを目的とする。

提案手法

• Snyder-Yangの量子化時空代数を採用し、時空座標 $X_\nu$ と運動量 $P_\nu$ を6次元パラメータ空間 $(\xi_0,\xi_1,\xi_2,\xi_3,\eta,\tau)$ 上の微分作用素として定義する。
• 非局所場 $U$ と量子化時空作用素 $\mathbf{R}$ が作用するヒルベルト空間Iを導入し、光円錐表現基底を用いて $X^+$ と $U$ を対角化する。
• ハミルトニアン形式を用いて、ヒルベルト空間IIにおいて第二量子化非局所場 $\mathbf{U}$ を構成し、標準的量子場理論に類似した形式をとる。
• D粒子の行列模型にこの枠組みを適用し、光円錐基底においてハミルトニアンを第二量子化された $\mathbf{D}$ 場で表現する。
• D場のローレンツ不変な作用原理を提示し、変分法を用いて運動方程式を導出する。
• ハイゼンベルクの運動方程式を一貫して導くために、$X^+$ との可換性に有利な性質を持つYangの代数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所場理論とSnyder-Yangの量子化時空に基づく枠組みにおいて、行列模型の第二量子化を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 相対論的作用原理を用いて、行列模型ハミルトニアンから導かれたハイゼンベルクの運動方程式を再現するには、どのような条件や近似が必要か？
• RQ3 自己相互作用および自己質量項に異常項が現れる理由は何か？これは光円錐基底や無限大運動量フレームの制限性と関係があるのか？
• RQ4 時空代数の選択（Snyder対Yang）が、場の運動方程式の整合性および $X^+$ との可換性に与える影響は何か？
• RQ5 物質場のダイナミクスによって時空代数 $\mathbf{R}$ が動的に決定可能であり、非可換一般相対性理論の一般化を示唆する可能性はあるか？

主な発見

• 第二量子化D場が光円錐時間 $X^+$ と可換であると仮定することで、行列模型ハミルトニアンからハイゼンベルクの運動方程式を一貫して導出可能である。
• 行列模型におけるD粒子位置の非可換性と、時空自体の非可換構造が第二量子化によって統一される。
• D場の相対論的作用原理は、光円錐量子化の文脈において特定の近似や条件下でのみ、ハイゼンベルクの運動方程式を再現する。
• 自己相互作用および自己質量項における異常行動は、光円錐基底および無限大運動量フレームの極限的性質に起因し、この量子化スキームに根本的な問題がある可能性を示唆する。
• Yangの代数は、$X^+$ および $P^\pm$ との可換関係が単純であるため、Snyderの代数よりも導出に適していることが判明した。
• 準局所表現基底を介して、非局所場理論と従来の局所場理論との対応関係が確立され、$\mathbf{u}_n$ が局所的領域における励起の生成・消滅作用素として作用することが示された。