[論文レビュー] Noncommutative Geometry and Twisted Little-String Theories

Morten Krogh|ArXiv.org|Aug 6, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 61被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、非可換幾何学と小ストリング理論および(2,0)理論のねじれ compactification 間の接続を確立し、これらの compactified 理論の真空のモジュライ空間が非可換トーラス上のインスタントンのモジュライ空間に等しいことを示している。この研究は、幾何学的および代数的技法を通じて D-brane 動力学、非可換ゲージ理論、compactified 小ストリング理論を統合し、次元が低い非可換インスタントンモジュライと超対称ゲージ理論の間の深い関係を明らかにしている。

ABSTRACT

In this thesis we will discuss various aspects of noncommutative geometry and compactified Little-String theories. First we will give an introduction to the use of noncommutative geometry in string theory. Thereafter we will present a proof of the connection between D-brane dynamics and noncommutative geometry. Then we will explain the concept of instantons in noncommutative gauge theories. The last chapters shift the focus to Little-String- and $(2,0)$-theories. We study compactifications of these theories on tori with twists. First we study the case of two coinciding branes in detail. Afterwards we study the case of an arbitrary number of coinciding branes. The main result here is that the moduli spaces of vacua for the twisted compactifications are equal to moduli spaces of instantons on a noncommutative torus. A special case of this is that a large class of gauge theories with $\SUSY{2}$ supersymmetry in D=4 or $\SUSY{4}$ in D=3 has moduli spaces which are moduli spaces of instantons on noncommutative tori.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学がストリング理論において果たす役割を、特に D-brane 動力学の文脈で探求すること。
• 有効場理論と幾何学的エンジニアリングを介して、D-brane 状態と非可換幾何学の間のきめ細やかな接続を確立すること。
• 非可換ゲージ理論におけるインスタントンを、compactified 小ストリング理論を理解するための橋渡しとして分析すること。
• 複数の重なった brane を持つトーラス上での (2,0) 理論および小ストリング理論のねじれ compactification を研究すること。
• これらの compactified 理論における真空のモジュライ空間を、非可換トーラス上のインスタントンモジュライ空間として同定すること。

提案手法

• ストリング理論における D-brane 動力学を記述するために非可換幾何学を用い、特に低エネルギー有効作用に焦点を当てる。
• ADHM 建造およびその非可換一般化を用いて、非可換ゲージ理論におけるインスタントンを記述する。
• 離散的ホロノミーとフラックス背景を持つトーラス上での小ストリング理論および (2,0) 理論のねじれ compactification を構築する。
• 非自明な背景場が存在する N 個の重なった D-brane 上の低エネルギー有効理論を分析する。
• compactified 理論の真空のモジュライ空間を、非可換トーラス上のインスタントンモジュライ空間へ写像することで導出する。
• 調和解析と非可換代数幾何学を用いて、インスタントン解およびその真空構造を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリング理論における D-brane 状態は、その低エネルギー有効ダイナミクスにおいてどのように非可換幾何学を実現するか？
• RQ2 トーラス上でのねじれ compactification の小ストリング理論における真空のモジュライ空間の正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 非可換ゲージ理論におけるインスタントンは、compactified (2,0) 理論および小ストリング理論の真空構造とどのように関係するか？
• RQ4 ねじれ compactification における N 個の重なった brane の真空のモジュライ空間は、非可換トーラス上の既知のインスタントン空間と同一視可能か？
• RQ5 このような compactification から生じる 4次元 N=2 または 3次元 N=4 超対称ゲージ理論のクラスは何か、そしてそれらの真空構造はどのようなものか？

主な発見

• トーラス上でのねじれ compactification の小ストリング理論および (2,0) 理論の真空のモジュライ空間は、非可換トーラス上のインスタントンモジュライ空間と同型である。
• N 個の重なった brane に対して、brane の世界体積上での有効理論は、非可換ゲージ理論を実現し、その真空構造は非可換インスタントンによって支配される。
• 4次元 N=2 超対称ゲージ理論および 3次元 N=4 理論の広いクラスの真空モジュライ空間は、非可換トーラス上のインスタントンモジュライ空間と幾何学的に同一視される。
• トーラスの非可換変形は、compactification のホロノミーとフラックス背景に符号化されており、幾何学と非可換性を直接的に結びつける。
• ADHM 建造は非可換設定へ一般化可能であり、有効ゲージ理論におけるインスタントン解の明確な実現を提供する。
• 本論文は、compactified ねじれ Little-String 理論と非可換インスタントンモジュライ空間の間の正確な双対性を確立し、強い結合ゲージ力学の新しい幾何的視点を提供する。