[論文レビュー] Nonholomic Distributions and Gauge Models of Einstein Gravity

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非ホロノミックな分布と非線形接続を用いたアインシュタイン重力の再定式化を提案し、アインシュタイン方程式がアフィンおよびデシータ接続 bundle 上のゲージ的モデルとして同等に記述できることを示している。リーマン接続を定数曲率成分を持つ計量適合 d-接続へと変形することにより、理論は隠れたヤン・ミルズ型構造を明らかにし、非ホロノミックな変数を用いた新しい微分幾何的量子化アプローチを可能にする。

ABSTRACT

For (2+2)-dimensional nonholonomic distributions, the physical information contained into a spacetime (pseudo) Riemannian metric can be encoded equivalently into new types of geometric structures and linear connections constructed as nonholonomic deformations of the Levi-Civita connection. Such deformations and induced geometric/physical objects are completely determined by a prescribed metric tensor. Reformulation of the Einstein equations in nonholonomic variables (tetrads and new connections, for instance, with constant coefficient curvatures and/or Yang-Mills like potentials) reveals hidden geometric and rich quantum structures. It is shown how the Einstein gravity theory can be re-defined equivalently as certain gauge models on nonholonomic affine and/or de Sitter frame bundles. We speculate on possible applications of the geometry of nonholonomic distributions with associated nonlinear connections in classical and quantum gravity.

研究の動機と目的

• 非ホロノミックな分布と非線形接続を基本的な幾何的変数として用いて一般相対性理論を再定式化すること。
• アインシュタイン方程式がアフィンおよびデシータ接続 bundle 上のゲージ的モデルとして同等に記述できることを示すこと。
• 定数係数曲率を持つ d-接続を導入することにより、重力に隠れたヤン・ミルズ型構造を明らかにすること。
• 非ホロノミックな変数とフェドソフ型変形量子化を用いた重力の幾何的フレームワークを提供すること。
• 非ホロノミック幾何学が古典的および量子重力に与える影響、特にスピン場および重力的相互作用との関係を調査すること。

提案手法

• 非ホロノミックな分布を用いて (2+2) 次元で非線形接続を定義し、時空を水平成分と垂直成分に分解する。
• リーマン接続を一般化し、計量適合 d-接続（非線形接続構造）を構築し、定数曲率成分を許容する。
• N-適応線形基底およびアフィン基底を導入し、非ホロノミック多様体上の bundle 構造を定義する。
• d-テンソルの歪みテンソルに対して重力的ヤン・ミルズ方程式を導出し、d-接続の曲率成分と関連付ける。
• de Sitter およびアフィン接続 bundle に形式を適用し、アインシュタイン重力が非半単純構造を持つゲージ理論として再定式化できることを示す。
• N-適応係数を用いた d-テンソル微積分を用い、(h,v) 分離形式で曲率、リッチ、スカラー曲率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なリーマン接続の代わりに非ホロノミックな分布と非線形接続を用いて、アインシュタイン重力を同等に再定式化できるか？
• RQ2 リーマン接続を定数係数曲率を持つ d-接続に変形することの幾何学的および物理的意味は何か？
• RQ3 非ホロノミック構造を用いて、アフィンおよびデシータ接続 bundle 上のゲージ的モデルとしてアインシュタイン方程式をどのように再定式化できるか？
• RQ4 歪み d-テンソルは、d-接続の曲率とヤン・ミルズ型方程式をどのように結びつけるか？
• RQ5 非ホロノミックな制約は、重力場方程式の対称性および保存則にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 物理的内容が d-接続と非線形接続に符号化された非ホロノミック変数を用いた再定式化により、アインシュタイン方程式は同等に記述可能である。
• リーマン接続の非ホロノミックな変形により、定数係数曲率を持つ d-接続が得られ、これにより新しい幾何的および量子的構造が可能になる。
• d-接続から得られるリッチ d-テンソルは、対称な計量に対しても一般に非対称であるため、非ホロノミック制約下で標準的対称性が破れる。
• スカラー曲率は水平リッチスカラーと垂直スカラー曲率に分解され、$\overrightarrow{R} + \overleftarrow{S}$ と表され、非ホロノミックな分解を反映する。
• 歪みテンソル$_{\shortmid}Z_{\ \alpha\beta}^{\gamma}$ は、リーマン接続と d-接続の係数を完全に関連づけ、任意の d-接続がリーマン接続の変形として表現可能であることを示す。
• 理論により、非ホロノミックなアフィンおよびデシータ接続 bundle 上で重力をゲージ的形で記述可能であり、重力とゲージ理論のより深い統一が示唆される。