[論文レビュー] Nonlinear Connections and Clifford Structures

Sergiu I. Vacaru, Nadejda A. Vicol|arXiv (Cornell University)|May 17, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形接続およびクライフォード構造を備えた高次ベクトルおよびコベクトルバンドルの幾何的枠組みを導入し、一般化された局所的非等方性を示す空間上でのスピンアイアおよびスピンアイア場の厳密な定式化を可能にする。主な貢献は、非線形接続幾何に自然に適合する、特徴的な（d-）クライフォード代数およびd-スピンアイアバンドルの構成であり、非等方的空間上での一般化されたアインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック方程式の導出を可能にし、高次Finsler型重力および物質場の相互作用への応用を含む。

ABSTRACT

We present an introduction to the geometry of higher order vector and co--vector bundles (including higher order generalizations of the Finsler geometry and Kaluza--Klein gravity) and review the basic results on Clifford and spinor structures on spaces with generic local anisotropy modeled by higher order nonlinear connections. Geometric applications in locally anisotropic gravity and matter field interactions are considered. This article contains a part of material given by these authors and P. Stavrinos in theirs lectures.

研究の動機と目的

• 非線形接続を備えた高次ベクトルおよびコベクトルバンドルの整合的な微分幾何学の構築。
• クライフォード構造を用いて、一般化された局所的非等方性を示す空間上でのスピンアイアおよびスピンアイア場の厳密な数学的枠組みの確立。
• 非ゼロのねじれおよびスピン密度を有する高次非等方的空間へのアインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック場の一般化。
• d-接続およびd-テンソル形式を用いたFinsler型幾何、スピンアイア構造および重力の統一。
• d-ねじれおよびd-曲率を含むスピンアイア場方程式への高次非等方的空間へのスピンアイア技法の拡張。

提案手法

• 非線形（N-）接続を備えた高次ベクトルおよびコベクトルバンドルを構築し、Finslerおよびラグランジュ幾何を一般化。
• 高次バンドル上の非線形接続構造と整合する特徴的な（d-）接続およびd-計量を定義。
• 非線形接続を備えたベクトルバンドル上の特徴的なモジュール構造を用いて、d-クライフォード代数およびd-スピンアイアバンドルを導入。
• 非等方的空間上でのd-スピンアイア場のd-共変微分およびインフェルト＝ヴァン・ダール・ワーデン係数を導出。
• d-テンソルおよびd-スピンアイア添字を用いて、d-スピンアイア形式でのアインシュタイン＝カルタン方程式およびディラック方程式の再定式化。
• 摂動論を適用し、局所的非等方的背景上での質量ゼロのd-テンソル場（重力子）のFierz–Pauli方程式を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された局所的非等方性を示す高次非等方的空間上でのスピンアイア構造は、どのように厳密に定義可能か？
• RQ2 非線形接続がベクトルバンドル上に特徴的なクライフォードおよびスピンアイア構造を誘導する役割は何か？
• RQ3 非ゼロのねじれおよびスピン密度を有する高次非等方的空間上での一般化されたアインシュタイン＝カルタン方程式は、どのようにして導かれるか？
• RQ4 局所的非等方的空間上でのディラック方程式およびヤン＝ミルズ理論のd-スピンアイア形式は何か？
• RQ5 高次非等方的重力子は、d-ねじれおよび曲率を有する背景上でどのように伝播するか？

主な発見

• 非線形接続および計量により、高次ベクトルバンドル上に特徴的なクライフォード代数構造が自然に誘導され、一貫性のあるスピンアイア微積分が可能になる。
• d-接続曲率およびd-ねじれが、N-接続成分およびd-接続係数を用いて明示的に計算可能であり、リーマン曲率を一般化する。
• 一般化されたアインシュタイン＝カルタン方程式は、インフェルト＝ヴァン・ダール・ワーデン係数を介してd-テンソル添字をd-スピンアイア添字に変換することで、d-スピンアイア形式に再定式化される。
• d-スピンアイア形式におけるエネルギー運動量d-テンソルは、d-ねじれおよびスピン密度を含む保存則を満たし、非等方的空間における非対称なエネルギー運動量を反映する。
• 高次非等方的重力子は、d-テンソル曲率項およびd-ゲージ条件を含むFierz–Pauli方程式を満たし、非等方的背景への線形化重力の一般化を実現する。
• 本枠組みは、d-クライフォードおよびd-スピンアイア構造を用いて、一般化されたFinsler、ラグランジュおよびハミルトン幾何を高次バンドルに拡張することにより統一する。