[論文レビュー] Nonlinear Lévy Processes and their Characteristics

Ariel Neufeld, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、スコロホド空間上の非線形期待値を用いて、与えられた特性を持つ非線形Lévy過程を構成する。ここでの基準過程は、定常かつ独立した増分をもち、集合Θに属するLévy三つ組から得られる古典的Lévy生成子の上界として定義される非線形生成子を持つ。主な貢献は、過程の汎関数が完全非線形偏積分微分方程式（PIDE）を満たすことであり、ジャンプ動的におけるKnight不確実性の扱いが容易になる。

ABSTRACT

We develop a general construction for nonlinear Lévy processes with given characteristics. More precisely, given a set $Θ$ of Lévy triplets, we construct a sublinear expectation on Skorohod space under which the canonical process has stationary independent increments and a nonlinear generator corresponding to the supremum of all generators of classical Lévy processes with triplets in $Θ$. The nonlinear Lévy process yields a tractable model for Knightian uncertainty about the distribution of jumps for which expectations of Markovian functionals can be calculated by means of a partial integro-differential equation.

研究の動機と目的

• 所与の局所的特性を持つ非線形Lévy過程の一般確率的構成法を開発すること。
• スコロホド空間上に非線形期待値を定義し、その下で基準過程がKnight不確実性下でも定常かつ独立な増分をもつようにすること。
• 過程の生成子が、Lévy三つ組の集合Θ上での古典的Lévy生成子の上界に一致することを確立すること。
• Markov的汎関数の期待値を、粘性解の性質を有する完全非線形PIDEによって特徴付けること。

提案手法

• 集合Θに添えられたLévy三つ組 (b, c, F) によってインデックスづけられた古典的期待値の上界として非線形期待値を構成する。
• この非線形期待値の下で、スコロホド空間上の基準過程として非線形Lévy過程を定義する。
• 非線形期待値の半群性質を検証することで、過程が定常かつ独立な増分をもつことを保証する。
• Θ内を動く微分可能な半マルティンゲール特性 (B, C, ν) を用いて、基礎確率測度を定義する。
• 汎関数 v(t,x) = E[ψ(x+X_t)] が完全非線形PIDE： v_t - sup_{(b,c,F)∈Θ} [b·v_x + ½tr(c v_xx) + ∫(v(t,x+z)−v(t,x)−v_x h(z)) F(dz)] = 0 を満たすことを確立する。
• Θに関する可積分性および正則性条件（(1.3)および(1.4)を含む）の下で、一意性および粘性解の性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたLévy三つ組の集合から得られる古典的Lévy生成子の上界として生成子を持つ非線形Lévy過程を構成可能か？
• RQ2 過程のMarkov的汎関数の期待値が完全非線形PIDEを満たすための条件は何か？
• RQ3 定常かつ独立な増分をもつ非線形期待値枠組みにおいて、ジャンプ分布のKnight不確実性はどのようにモデル化できるか？
• RQ4 関連PIDEの粘性解の性質を保証するための、集合Θに関する正則性および可積分性条件は何か？

主な発見

• 構築された非線形Lévy過程は、非線形期待値の下で定常かつ独立な増分をもつ。これは古典的Lévy過程を一般化するものである。
• v(t,x) = E[ψ(x+X_t)] の形の汎関数は、完全非線形PIDE (1.2) の唯一の粘性解として特徴づけられる。
• Θに関する条件 (1.3) および (1.4) — すなわち全 variation の有界性および小ジャンプの一様可積分性 — は、解の存在および正則性を保証する。
• 証明は、半マルティンゲール特性の精密な解析と、特にテイラー展開および F(dz) に対する一様有界性を用いたジャンプの切断積分の収束に依拠している。
• 非線形生成子 G 及びその近似 G^κ の収束は、|z|≤1、1<|z|≤N、|z|>N の各領域における積分の一様制御によって確立され、連続性および安定性が保証される。
• 粘性解枠組みは、比較原理に不可欠な条件 (C1)–(C9) — 特に増分の一様連続性および有界性 — の検証により正当化される。