[論文レビュー] Nonnegative Polynomials and Sums of Squares

Grigoriy Blekherman|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3変数6次形 (3,6) および4変数4次形 (4,4) の最小ケースにおいて、非負の同次多項式が常に平方和でない根本的な幾何学的・代数的理由を特定する。Cayley-Bacharach関係—多項式間の線形依存性—が、非負多項式の錐と平方和の錐を分離するすべての線形不等式を生成することを示し、曲線の交点と明示的な線形汎関数を用いて、これらの差異を完全に特徴づける。

ABSTRACT

In the smallest cases where there exist nonnegative polynomials that are not sums of squares we present a complete explanation of this distinction. The fundamental reason that the cone of sums of squares is strictly contained in the cone of nonnegative polynomials is that polynomials of degree $d$ satisfy certain linear relations, known as the Cayley-Bacharach relations, which are not satisfied by polynomials of full degree 2d. For any nonnegative polynomial that is not a sum of squares we can write down a linear inequality coming from a Cayley-Bacharach relation that certifies this fact. We also characterize strictly positive sums of squares that lie on the boundary of the cone of sums of squares and extreme rays of the cone dual to the cone of sums of squares

研究の動機と目的

• 非負多項式が (3,6) および (4,4) の最小ケースで常に平方和でない理由を説明すること。
• これらのケースにおいて、非負形式の錐と平方和の錐を分離するすべての線形不等式の完全な集合を特定すること。
• これらの分離不等式が、曲線の交点におけるCayley-Bacharach関係に起因することを示すこと。
• 実および複素共役交点を含む曲線の交点を用いて、平方和の双対錐の極値線を特徴づけること。

提案手法

• 一般多項式ではなく形式に注目するため、同次化を用いる。特に (3,6) および (4,4) のケースに焦点を当てる。
• 次数dの多項式の間の線形依存性（2d次多項式では成立しない）であるCayley-Bacharach関係を適用し、分離する線形不等式を導出する。
• 曲線の交点γi（(3,6)では3次曲線、(4,4)では2次曲線）における評価に基づく線形汎関数ℓ(f) = ∑μif(zi)を構成する。複素共役対を許容する。
• 形式Hn,dからℝ^sへの実評価写像Eℝ: Hn,d → ℝ^sを定義し、その像を超平面Lとして特定する。
• これらの評価によって誘導されるHn,d上の正定値2次形式Qℓの分析を行い、それが双対錐Σ∗n,2dの極値線であることを示す。
• 2次形式の平方を完成させることで問題を実超平面に還元し、極値線が点評価または核内に唯一の射影的ゼロを持つ形式に対応することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負多項式が (3,6) および (4,4) の場合に平方和でない根本的な代数的・幾何的根拠は何か？
• RQ2 非負形式の錐と平方和の錐を分離するすべての線形不等式が、これらのケースにおいてCayley-Bacharach関係に起因するか？
• RQ3 極値線を、実および複素共役対を含む曲線の交点を用いて完全に特徴づけることができるか？
• RQ4 極値線の存在に複素交点が必要か、それともすべての極値線が完全に実交点によって実現可能か？

主な発見

• (3,6)の場合、非負形式が平方和でないものは、2つの実3次曲線の9個の交点（うち最大2個が複素）に基づく線形汎関数ℓ(f) = ∑μif(zi)によって証明可能である。
• (4,4)の場合、このような証明は3つの実2次曲線の8個の交点（うち最大2個が複素）に基づく。
• これらのケースにおいて、Pn,2dとΣn,2dを分離するすべての線形不等式は、2d次多項式では成立しないCayley-Bacharach関係によって生成される。
• 点評価でない極値線Qℓに対応する二次形式Qℓの核には、一意の射影的ゼロが存在し、これは複素共役対の交点から生じる。
• 点評価に対応しない極値線Qℓの核において、n−1個の形式の任意の横断的交わりは、ゼロが高々1組の複素共役対を含む。
• 本稿は、このような極値線が常に完全に実交点によって実現可能であると予想しており、複素対が特徴づけに本質的でないことを示唆する。