[論文レビュー] Normally Hyperbolic Invariant Laminations and diffusive behaviour for the generalized Arnold example away from resonances

V. A. Kaloshin, Jianlu Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、小さな三角関数的結合を伴う振り子と回転子からなる、ほぼ可積分なハミルトニアン系の一般化されたアーノルド例において、通常双曲的不変ラミネーション（NHIL）の存在を確立する。2次分離子写像とねじれ積構造の動的システムを用いて、εに依存する時間スケールにおいて、NHIL上のベルヌーイ測度のプッシュフォワードが弱収束し、拡散過程に収束することを証明し、共鳴がない状況での確率的拡散を確認する。

ABSTRACT

In this paper we study existence of Normally Hyperbolic Invariant Laminations (NHIL) for a nearly integrable system given by the product of the pendulum and the rotator perturbed with a small coupling between the two. This example was introduced by Arnold. Using a {\it separatrix map}, introduced in a low dimensional case by Zaslavskii-Filonenko and studied in a multidimensional case by Treschev and Piftankin, for an open class of trigonometric perturbations we prove that NHIL do exist. Moreover, using a second order expansion for the separatrix map from [GKZ], we prove that the system restricted to this NHIL is a skew product of nearly integrable cylinder maps. Application of the results from [CK] about random iteration of such skew products show that in the proper $\varepsilon$-dependent time scale the push forward of a Bernoulli measure supported on this NHIL weakly converges to an Ito diffusion process on the line as $\varepsilon$ tends to zero.

研究の動機と目的

• 振り子と回転子を小さな三角関数的摂動で結合したほぼ可積分系における通常双曲的不変ラミネーション（NHIL）の存在を確立すること。
• 分離子写像の2次展開を用いて、NHILに制限された力学的挙動を分析すること。
• ε → 0 の極限において、NHIL上の系の進化が確率的過程に一致する拡散的挙動を示すこと。
• ほぼ可積分なシリンダーマップの繰り返しの乱雑な反復と動的システムを結びつけ、NHIL上のベルヌーイ測度のプッシュフォワードがイト拡散過程に弱収束することを証明すること。
• 幾何学的および確率論的手法を用いて、共鳴のない、事前に不安定な系におけるアーノルド拡散の厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 一般化されたアーノルド例に対して、分離子写像を用いて隔離ブロックを構築し、メルニコフポテンシャルから導かれる写像の2次展開を用いる。
• 線形化された分離子写像の条件 [C1–C5] を満たすことを確認し、隔離ブロックの中心を計算することで、NHILの存在定理を適用する。
• NHIL上の動的システムのねじれ積モデルを導出し、ほぼ可積分なシリンダーマップと確率的摂動の合成であることを示す。
• 正規化された座標と保存構造を用いて、単一共鳴領域におけるねじれシフトの動的システムを分析する。
• [11] の結果を応用し、ベルヌーイ測度のNHIL上でのプッシュフォワードがイト拡散過程に弱収束することを証明する。
• 生成関数とεに関する漸近展開を用いて、写像の2次項の明示的表現を導出し、生成関数と回転数のC³ノルムを含む誤差項の上限を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共鳴から離れた小さな三角関数的摂動を伴う一般化されたアーノルド例において、通常双曲的不変ラミネーション（NHIL）は存在するか？
• RQ2 分離子写像の2次展開は、NHIL上の力学的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 NHILに制限された系は、ほぼ可積分なシリンダーマップのねじれ積としてモデル化可能か？
• RQ4 ε → 0 のとき、NHIL上のベルヌーイ測度のプッシュフォワードは弱収束して拡散過程に至るか？
• RQ5 分離子写像とメルニコフポテンシャルは、共鳴のない、事前に不安定な系における拡散的挙動を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 三角関数的摂動の開集合に対して、一般化されたアーノルド例において共鳴から離れた領域に通常双曲的不変ラミネーション（NHIL）が存在する。
• 分離子写像の2次展開により、NHIL上の力学的挙動がほぼ可積分なシリンダーマップのねじれ積によって支配されることを確認する。
• NHILに制限された系は拡散的挙動を示す：NHIL上に台を持つベルヌーイ測度のプッシュフォワードは、ε → 0 のときイト拡散過程に弱収束する。
• 収束は ε⁻² ln(1/ε) に比例する時間スケールで発生し、アーノルド拡散のヒューリスティクスと整合的である。
• 生成関数と回転数がC³滑らかであるとき、2次写像展開の剰余項はO(ε³)で有界である。
• 共鳴のない状況における回転子の確率的拡散的挙動に関する予想を確認し、ハミルトニアン系における幾何的構造と確率的過程との間の厳密な関係を提供する。