[論文レビュー] Norms and Cones in the Theory of Quantum Entanglement

Nathaniel Johnston|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 247被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、量子もつれ理論におけるもつれ見出しの一般化として、$ s(k) $-ベクトルノルムおよび$ S(k) $-演算子ノルムというノルムの族を導入する。これらのノルムを最小作用素空間および双対性と結びつけることで、量子チャネルの忠実度、束縛もつれ、もつれの幾何的測度を特徴付ける役割を確立し、量子情報問題に対する新たな解析的ツールを提供する。

ABSTRACT

There are various notions of positivity for matrices and linear matrix-valued maps that play important roles in quantum information theory. The cones of positive semidefinite matrices and completely positive linear maps, which represent quantum states and quantum channels respectively, are the most ubiquitous positive cones. There are also many natural cones that can been regarded as "more" or "less" positive than these standard examples. In particular, entanglement theory deals with the cones of separable operators and entanglement witnesses, which satisfy very strong and weak positivity properties respectively. Rather complementary to the various cones that arise in entanglement theory are norms. The trace and operator norms for operators and the diamond and completely bounded norms for superoperators are the typical norms that are seen throughout quantum information theory. In this work our main goal is to develop a family of norms that play a role analogous to the cone of entanglement witnesses. We investigate the basic mathematical properties of these norms, including their relationships with other well-known norms, their isometry groups, and their dual norms. We also make the place of these norms in entanglement theory rigorous by showing that entanglement witnesses arise from minimal operator systems, and analogously our norms arise from minimal operator spaces. Finally, we connect the various cones and norms considered here to several seemingly unrelated problems from other areas. We characterize the problem of whether or not non-positive partial transpose bound entangled states exist in terms of one of our norms, and provide evidence in favour of their existence. We also characterize the minimum gate fidelity of a quantum channel, the maximum output purity and its completely bounded counterpart, and the geometric measure of entanglement in terms of these norms.

研究の動機と目的

• もつれ見出しが量子もつれ理論において果たす二重の役割を果たすノルムの族を構築すること。
• これらのノルムを最小作用素空間および双対性と関連づけることで、厳密な数学的基盤を確立すること。
• 非正の部分転置を持つ束縛もつれ状態の存在といった、量子情報理論における重要な問題とこれらのノルムを結びつけること。
• 新しいノルムを用いて、最小ゲート忠実度、最大出力純度、幾何的もつれ測度を特徴付けること。
• 正の写像の錐、ノルム、線形保存問題を結びつける統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• トレースノルムおよびダイヤモンドノルムの一般化として、$ k $-正の写像の錐の双対として$ s(k) $-ベクトルノルムおよび$ S(k) $-演算子ノルムを定義する。
• チョイ-ヤミォルスキー同型を用いて、スーパーオペレーター上のノルムを作用素の錐と関連づけ、双対性解析を可能にする。
• これらのノルムが、もつれ見出しが最小作用素系から生じるのと同様に、最小作用素空間から生じることを確立する。
• 双対性理論を用いて、$ S(k) $-ノルムが$ k $-超正の写像の錐の双対であることを示し、等長変換群およびスペクトル性質を導出する。
• 半定値計画法を用いて、特に対称拡張および$ k $-正の写像を活用して、凸最適化によるノルムの計算を実行する。
• 非PPTの束縛もつれ状態の存在が、$ S(1) $-ノルムを含む特定のノルム不等式と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もつれを検出するもつれ見出しの役割を一般化するノルムの族を構築できるか？
• RQ2 これらの新しいノルムは、量子情報理論における既存のノルム（トレースノルムやダイヤモンドノルム）とどのように関係するか？
• RQ3 これらの新しいノルムと、非正の部分転置を持つ束縛もつれ状態の存在との間にどのような関係があるか？
• RQ4 量子チャネルの最小ゲート忠実度は$ S(1) $-ノルムを用いて特徴付けられるか？
• RQ5 これらのノルムは、多粒子系における幾何的もつれ測度とどのように関係するか？

主な発見

• $ s(k) $-ベクトルノルムおよび$ S(k) $-演算子ノルムが、最小作用素空間から生じるもつれ見出しの一般化として導入された。
• $ S(k) $-ノルムが$ k $-超正の写像の錐の双対であることが示され、その等長変換群がユニタリおよび反ユニタリ変換によって特徴付けられた。
• 非PPTの束縛もつれ状態の存在が、$ S(1) $-ノルムを含む特定の不等式と同値であることが判明し、新たな操作的基準が得られた。
• 量子チャネルの最小ゲート忠実度が、そのチョイ行列の$ S(1) $-ノルムの逆数として特徴付けられる。
• 三粒子および四粒子状態の幾何的もつれ測度が、$ S(k) $-ノルムを用いて表現され、既知の二粒子系の結果が拡張された。
• 本稿では、$ ext{CP}(V(M_n)) $ が半群であるための必要十分条件が、$ V(M_n) $ がスーパー同調的作用素系であることであることを証明し、ノルム理論と量子チャネルにおける半群構造を結びつけた。