[論文レビュー] Nuclear dimension for an inclusion of unital C*-algebras

Hiroyuki Osaka, Tamotsu Teruya|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単位的C*-代数が分解ランク ≤ n または核次元 ≤ n であるクラスに局所的に属するならば、その代数はそのクラスに属することを確立する。主な貢献は、有限 Watatani 指数をもつ包含と Rokhlin 性質を満たす包含に関して、有限分解ランクおよび核次元の安定性を証明したことであり、Winter と Zacharias (2010) の問題9.4を肯定的に解決し、交叉積および基本的構成へと結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $P \subset A$ be an inclusion of separable unital C*-algebras with finite Watatani index. Suppose that $E \colon A ightarrow P$ has the Rokhlin property, that is, there is a projection $e \in A' \cap A^\infty$ such that $E^\infty(e) = ({ m Index}E)^{-1}1$. We show that if $A$ has nuclear dimension $n$, then $P$ has nuclear dimension less than or equal to $n$. In particular, if an action $α$ of a finite group $G$ on $A$ has the Rokhlin property, then the nuclear dimension of the crossed product algebra $A times_αG$ is less than or equal to that of $A$.

研究の動機と目的

• 分解ランク ≤ n または核次元 ≤ n であるクラスに局所的に属する C*-代数が、全体としてもそのクラスに属することを確立すること。
• Winter と Zacharias (2010) の問題9.4を解決し、Rokhlin 型包含において有限核次元が保存されることを示すこと。
• Rokhlin 性質を満たす包含に関して、交叉積および基本的構成への安定性結果を拡張すること。
• Rokhlin 条件付き期待値における純粋性（厳密比較およびほぼ可除な Cuntz 細分）の継承を調査すること。
• 有限指数型包含におけるトレース類と順序構造の関係を明確にすること。

提案手法

• C_n（それぞれ C_nuc_n）クラスに局所的に属する C*-代数の概念を、C_n（それぞれ C_nuc_n）に属する部分代数による近似を通じて導入する。
• 条件付き期待値 E: A → P に対する Rokhlin 性質を、A' ∩ A^∞ に属する射影 e が存在し、E^∞(e) = (Index E)^{-1}1 を満たすことで定義する。
• Osaka と Phillips (2011) の C_n および C_nuc_n クラスの有限飽和に関する結果を応用し、全体的な属する性質を導出する。
• Cuntz 細分 W(A) 及びそのほぼ可除性を用いて、純粋性および包含における安定性を特徴付ける。
• 次元低下代数 Z_{k,k+1} の弱半投影性を用いて、A から P および基本的構成へのホモモーフィズムの持ち上げを行う。
• Winter による純粋性の特徴づけ（厳密比較および W(A) のほぼ可除性）と、A が正確かつ安定的スカラーをもつとき、厳密比較がトレースに依存する順序と同値であることを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分解ランク ≤ n であるクラスに局所的に属する C*-代数は、必然的にそのクラスに属するか？
• RQ2 有限 Watatani 指数および Rokhlin 性質を満たす単位的 C*-代数の包含において、核次元は保存されるか？
• RQ3 群作用に対して Rokhlin 性質を満たすとき、固定点代数および交叉積において分解ランクおよび核次元は有限のままで保存されるか？
• RQ4 有限群作用 α に対して、純粋な C*-代数 A の固定点代数 P が純粋であるための条件は何か？
• RQ5 有限指数型包含において Rokhlin 性質を満たすとき、トレースと射影の順序関係はどのように関係するか？

主な発見

• A が局所的 C_n（それぞれ C_nuc_n）C*-代数であるならば、A ∈ C_n（それぞれ C_nuc_n）である。これは、これらのクラスが局所的近似に関して閉じていることを確認する。
• P ⊂ A が有限 Watatani 指数をもち、条件付き期待値 E が Rokhlin 性質を満たすものとする。dr(A) ≤ n（それぞれ dim_nuc(A) ≤ n）ならば、dr(P) ≤ n（それぞれ dim_nuc(P) ≤ n）である。
• A が正確で、純粋かつ安定的スカラーをもつとき、E: A → P が Rokhlin 性質を満たすならば、P は純粋である。
• 有限群作用 α が Rokhlin 性質を満たすとき、dr(A) ≤ n ならば、dr(A^α) ≤ n かつ dr(A ⋊_α G) ≤ n である。
• dim_nuc(A) ≤ n かつ α が Rokhlin 性質を満たすならば、dim_nuc(A^α) ≤ n かつ dim_nuc(A ⋊_α G) ≤ n である。
• A が可分で、単位的で、正確で、純粋かつ安定的スカラーをもち、α が Rokhlin 性質を満たすならば、A^α および A ⋊_α G はともに純粋である。